【题解】Luogu P2522 [HAOI2011]Problem b

原题传送门

这题需要运用莫比乌斯反演(懵逼钨丝繁衍)

我们看题面，让求对于区间([a,b])内的整数x和([c,d])内的y，满足$ gcd(x,y)=k$的数对的个数

我们珂以跟容斥原理（二维前缀和）一样来求答案：

设(solve(x,y,k))表示对于区间([1,x])内的整数x和([1,y])内的y，满足(gcd(x,y)=k)的数对的个数

那么答案(ans=solve(b,d,k)-solve(a-1,d,k)-solve(b,c-1,k)+solve(a-1,c-1,k))

那么solve怎么写呢？

设F(n)表示满足(gcd(x,y)\%t=0)的数对个数，f(t)表示满足(gcd(x,y)=t)的数对个数，实际上答案就是f(k)

这就满足莫比乌斯反演的关系式了

显然我们珂以得知(F(t)=(b/t)*(d/t))

我们根据反演的第二个公式便珂以得出

$$f(k)=sum_{n|k}mu(frac{k}{n})F(k)$$

再加上整除分块就珂以了

#include <bits/stdc++.h>
#define N 50005
#define ll long long
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf; 
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; 
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register ll x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
inline int Min(register int a,register int b)
{
    return a<b?a:b;
}
int miu[N],v[N],sum[N];
inline ll solve(register int a,register int b,register int k)
{
    int maxround=Min(a/k,b/k);
    ll ans=0;
    for(register int l=1,r;l<=maxround;l=r+1)
    {
        r=Min((a/k)/((a/k)/l),(b/k)/((b/k)/l));
        ans+=(ll)((a/k)/l)*((b/k)/l)*(sum[r]-sum[l-1]);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    for(register int i=1;i<=N;++i)
        miu[i]=1,v[i]=0;
    for(register int i=2;i<=N;++i)
    {
        if(v[i])
            continue;
        miu[i]=-1;
        for(register int j=i<<1;j<=N;j+=i)
        {
            v[j]=1;
            if((j/i)%i==0)
                miu[j]=0;
            else
                miu[j]*=-1;
        }
    }
    for(register int i=1;i<=N;++i)
        sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
    int t=read();
    while(t--)
    {
        int a=read()-1,b=read(),c=read()-1,d=read(),k=read();
        ll ans=solve(b,d,k)-solve(a,d,k)-solve(b,c,k)+solve(a,c,k);
        write(ans),puts("");
    }
    return 0;
 }