线性筛筛积性函数

概念

定义域为正整数的函数是数论函数。

设p，q互质，f[p*q]=f[p]*f[q]，称f为积性函数。如约数，欧拉，莫比乌斯。

任意p，q，f[p*q]=f[p]*f[q]，称f为完全积性函数。如1函数，即f[i]=1。

我们一般用线性筛就可以预处理积性函数。

---

欧拉phi

void phii()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!not_prime[i]) 
        {
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=maxn;j++)
        {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}

---

莫比乌斯mu

void init()
{
    notp[1]=1;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;++i)
    {
        if(!notp[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(LL j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=maxn;++j)
        {
            notp[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;//含有了平方因子 
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];//质数个数++ 
        }
    }
}

---

约数

约数有两种，一种是求约数个数和，一种是求约数和

（不想自己手打原因）摘自这篇博客

打的时候不要把1给忘了

void init()
{
    notp[1]=1;ys[1]=1;dd[1]=1;
    //ys约数个数，dd最小质因子的个数 
    for(re int i=2;i<=50000;++i)
    {
        if(!notp[i])prime[++tot]=i,ys[i]=2,dd[i]=1;
        for(re LL j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=50000;++j)
        {
            notp[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                ys[i*prime[j]]=ys[i]/(dd[i]+1)*(dd[i]+2);
                dd[i*prime[j]]=dd[i]+1;
                break;
            }
            else
            {
                ys[i*prime[j]]=ys[i]*2;//（积性函数的性质,素数的约数个数=2）
                dd[i*prime[j]]=1;//prime[j]是i和i*prime[j]的最小素因子 
            }
        }
    }
}

void init()
{
    notp[1]=1;sd[1]=1;sp[1]=1;
    //sd约数和，sp最小质因子的那个多项式（也可以理解为由最小质因子组成的数的约数和吧） 
    for(re int i=2;i<=50000;++i)
    {
        if(!notp[i])prime[++tot]=i,sd[i]=i+1,sp=i+1;
        for(re LL j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=50000;++j)
        {
            notp[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                sd[i*prime[j]]=sd[i]/sp[i]*(sp[i]*prime[j]+1);
                sp[i*prime[j]]=sp[i]*prime[j]+1;
                break;
            }
            else
            {
                sd[i*prime[j]]=sd[i]*sd[prime[j]];
                sp[i*prime[j]]=prime[j]+1;
            }
        }
    }
}