luogu 3790 文艺数学题

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题目大意

　　给定一个图，问它的所有生成树的边权的最大公约数之和。

　　可以考虑计算边权的最大公约数为$i$的生成树的个数$f(i)$，最后累加答案。

　　然后考虑这样的生成树的个数怎么求，根据某个经典套路，我们可以容斥。

　　因为可以求出边权的最大公约数为$i$的倍数的生成树的个数$F(i)$，所以减去它的倍数的$f$就是$f(i)$了。

　　但是这么做会T掉。

　　可以用$O(Wlog W)$的时间内预处理出为边权$i$的倍数的边数有多少条。然后高消前判断一下边数是否大于等于$n - 1$。

　　复杂度的话考虑超过 $sqrt{W}$ 的边数至多有 $O(m)$ 条，因此复杂度为 $O((sqrt{W}+frac{m}{n - 1})n^3)$

Code

/**
 * luogu
 * Problem#3790
 * Accepted
 * Time: 6016ms
 * Memory: 9402k
 */
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef bool boolean;
#define ll long long

const int N = 65, M = 1e9 + 7;

void exgcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y) {
    if(!b)
        d = a, x = 1, y = 0;
    else {
        exgcd(b, a % b, d, y, x);
        y -= (a / b) * x;        
    }
}

int inv(int a, int n) {
    int d, x, y;
    exgcd(a, n, d, x, y);
    return (x < 0) ? (x + n) : (x);
}

typedef class Matrix {
    public:
        int a[N][N];

        void reset() {
            memset(a, 0, sizeof(a));
        }

        int det(int n) {
            int pro = 1;
            for (int i = 1, e; i <= n; i++) {
                e = 0;
                for (int j = i; j <= n && !e; j++)
                    if (a[j][i])
                        e = j;
                if (e == 0)    return 0;
                if (e != i)    
                    for (int j = 1; j <= n; j++)
                        swap(a[e][j], a[i][j]);
                for (int j = 1, x, y; j <= n; j++) {
                    if (j == i)    continue;
                    x = a[i][i], y = a[j][i], pro = pro * 1ll * x % M;
                    for (int k = 1; k <= n; k++) {
                        a[j][k] = (a[j][k] * 1ll * x - a[i][k] * 1ll * y) % M;
                        if (a[j][k] < 0)    a[j][k] += M;
                    }

                }
            }
            int rt = inv(pro, M);
            for (int i = 1; i <= n; i++)
                rt = rt * 1ll * a[i][i] % M;
            return rt;
        }
}Matrix;

typedef class Edge {
    public:
        int u, v, w;
}Edge;

const int Val = 1e6 + 1;

int n, m;
Edge* es;
Matrix a;
int ce[Val], f[Val];

inline void init() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    es = new Edge[(m + 1)];
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        scanf("%d%d%d", &es[i].u, &es[i].v, &es[i].w), ce[es[i].w]++;
}

int calc(int g) {
    if (ce[g] < n - 1)    return 0;
    a.reset();
    for (int i = 1, u, v; i <= m; i++)
        if (!(es[i].w % g)) {
            u = es[i].u - 1, v = es[i].v - 1;
            a.a[u][u]++, a.a[v][v]++;
            a.a[u][v]--, a.a[v][u]--;
            if (a.a[u][v] < 0)    a.a[u][v] += M;
            if (a.a[v][u] < 0)    a.a[v][u] += M;
        }
    int rt = a.det(n - 1);
//    cerr << rt << endl;
    return rt;
}

int res = 0;
inline void solve() {
    for (int i = 1; i < Val; i++)
        for (int j = (i << 1); j < Val; j += i)
            ce[i] += ce[j];
    for (int i = Val - 1; i; i--) {
        f[i] = calc(i);
        for (int j = (i << 1); j < Val; j += i) {
            f[i] -= f[j];
            if (f[i] < 0)
                f[i] += M;
        }
        res = (res + f[i] * 1ll * i) % M;
    }
    printf("%d", res);
}

int main() {
    init();
    solve();
    return 0;
}