学习了一下1个$log$的二次剩余。然后来水一篇博客。
当$p$为奇素数的时候，并且$(n, p) equiv 1 pmod{p}$，用Cipolla算法求出$x^2 equiv n pmod{p}$的一组解。
寻找一个$a$，使得$a^2 - n$是一个二次非剩余。
期望只用2次就能找到。
令$omega equiv sqrt{a^2 - n} pmod{p}$，显然这个值不存在，我们强行扩域。
那么$(a + omega)^{(p + 1) / 2}$即为一组解。
证明如下：
$$
egin{align}
(a + omega)^{p+1} & equiv sum_{i = 0}^{p + 1} inom{p+1}{i}a^iomega^{p + 1- i} \
&equiv a^{p + 1} + omega^{p + 1} + (p + 1)(aomega^p + omega^p a) \
&equiv a^2 + (a^2 - n)^{(p+1)/2}+(p+1)omegaleft[a(a^2-n)^{(p-1)/2} + a
ight] \
&equiv a^2 - a^2 + n \
&equiv n pmod{p}
end{align}
$$