• 协方差的意义


    协方差的意义

    转载于:http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=14444(感谢原作者) 


    在概率论中,两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系,大致有下列3种情况:


    当 X, Y 的联合分布像上图那样时,我们能够看出,大致上有: X 越大  Y 也越大, X 越小  Y 也越小,这样的情况,我们称为“正相关”。


    当X, Y 的联合分布像上图那样时,我们能够看出,大致上有:X 越大Y 反而越小,X 越小 Y 反而越大,这样的情况,我们称为“负相关”。

    当X, Y  的联合分布像上图那样时,我们能够看出:既不是X  越大Y 也越大,也不是 X 越大 Y 反而越小,这样的情况我们称为“不相关”。

    如何将这3种相关情况,用一个简单的数字表达出来呢?

    在图中的区域(1)中,有 X>EX ,Y-EY>0 ,所以(X-EX)(Y-EY)>0;

    在图中的区域(2)中,有 X<EX ,Y-EY>0 ,所以(X-EX)(Y-EY)<0;

    在图中的区域(3)中,有 X<EX ,Y-EY<0 ,所以(X-EX)(Y-EY)>0;

    在图中的区域(4)中,有 X>EX ,Y-EY<0 ,所以(X-EX)(Y-EY)<0

    正相关时,它们的分布大部分在区域(1)和(3)中,小部分在区域(2)和(4)中,所以平均来说,有E(X-EX)(Y-EY)>0 

     X Y负相关时,它们的分布大部分在区域(2)和(4)中,小部分在区域(1)和(3)中,所以平均来说,有(X-EX)(Y-EY)<0 

     X Y不相关时,它们在区域(1)和(3)中的分布,与在区域(2)和(4)中的分布差点儿一样多,所以平均来说,有(X-EX)(Y-EY)=0 

    所以,我们能够定义一个表示X, Y 相互关系的数字特征,也就是协方差
    cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY)

     cov(X, Y)>0时,表明 XY 正相关

     cov(X, Y)<0时,表明XY负相关

    cov(X, Y)=0时,表明XY不相关

    这就是协方差的意义。


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