协方差的意义
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在概率论中,两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系,大致有下列3种情况:
当 X, Y 的联合分布像上图那样时,我们能够看出,大致上有: X 越大 Y 也越大, X 越小 Y 也越小,这样的情况,我们称为“正相关”。
当X, Y 的联合分布像上图那样时,我们能够看出,大致上有:X 越大Y 反而越小,X 越小 Y 反而越大,这样的情况,我们称为“负相关”。
如何将这3种相关情况,用一个简单的数字表达出来呢?
在图中的区域(1)中,有 X>EX ,Y-EY>0 ,所以(X-EX)(Y-EY)>0;
在图中的区域(2)中,有 X<EX ,Y-EY>0 ,所以(X-EX)(Y-EY)<0;
在图中的区域(3)中,有 X<EX ,Y-EY<0 ,所以(X-EX)(Y-EY)>0;
在图中的区域(4)中,有 X>EX ,Y-EY<0 ,所以(X-EX)(Y-EY)<0。
当X 与Y 正相关时,它们的分布大部分在区域(1)和(3)中,小部分在区域(2)和(4)中,所以平均来说,有E(X-EX)(Y-EY)>0 。
当 X与 Y负相关时,它们的分布大部分在区域(2)和(4)中,小部分在区域(1)和(3)中,所以平均来说,有(X-EX)(Y-EY)<0 。
当 X与 Y不相关时,它们在区域(1)和(3)中的分布,与在区域(2)和(4)中的分布差点儿一样多,所以平均来说,有(X-EX)(Y-EY)=0 。
所以,我们能够定义一个表示X, Y 相互关系的数字特征,也就是协方差当 cov(X, Y)>0时,表明 X与Y 正相关;
当 cov(X, Y)<0时,表明X与Y负相关;
当 cov(X, Y)=0时,表明X与Y不相关。
这就是协方差的意义。