题目描述
一个平面上有很多个点在运动。给你每个点的初始坐标和每个点的速度，求出最多有多少个点到(0)号店的距离同时不超过(r)。
(nleq 50000)
题解
我们先把(0)号点平移到原点，并令它静止不动。这样每个其他的点的运动轨迹就可以看成一条直线，要求出最多有多少个点同时在圆内。然后就是求直线和圆的交点。然后把这些交点按照时间排序，第一次出现就是进入，第二次出现就是出去。直接扫一遍就可以了。
求直线的方程&交点很简单，就是解几个方程，大家可以自己计算。设直线的方程为(ax+by+c=0)，圆的方程为(x^2+y^2=r^2)，交点的横坐标为(x)，结果为
[(a^2+b^2)x^2+2acx+c^2-b^2r^2=0
]
时间复杂度：(O(nlog n))
好吧。。。我还是放上计算过程吧
[egin{align}
ax+by+c&=0\
a(x-vx)+b(y-by)+c&=0\
avx+bvy&=0\
a&=vy\
b&=-vx\
c&=yvx-xvy\
end{align}
]
[egin{cases}
x^2+y^2=r^2\
ax+by=c
end{cases}
]
[egin{align}
y&=frac{c-ax}{b}\
x^2+{(frac{c-ax}{b})}^2&=r^2\
(a^2+b^2)x^2+2acx+c^2-b^2r^2&=0
end{align}
]
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<double,double> pdd;
typedef pair<double,int> pdi;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
struct point
{
double x,y;
point(double a=0,double b=0)
{
x=a;
y=b;
}
};
point operator -(point a,point b)
{
return point(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
double dist(point a)
{
return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);
}
pdi f[100010];
int m;
double r;
double eps=1e-9;
double bx,by,bvx,bvy;
int sign(double x)
{
return x>0;
}
int tot=0;
void solve(int id)
{
double a,b,c;
double x,y,vx,vy;
scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&vx,&vy);
x-=bx;
y-=by;
vx-=bvx;
vy-=bvy;
if(fabs(vx)<eps&&fabs(vy)<eps)
{
if(dist(point(x,y)-point())<r)
tot++;
return;
}
a=vy;
b=-vx;
//vy*x-vx*y+c=0
c=vx*y-vy*x;
point p1,p2;
if(fabs(b)<=eps)
{
if(x>r)
return;
p1=p2=point(x,sqrt(r*r-x*x));
p2.y=-p2.y;
f[++m]=pdi((p1.y-y)/vy,id);
f[++m]=pdi((p2.y-y)/vy,id);
return;
}
double A=a*a+b*b,B=2*a*c,C=c*c-b*b*r*r;
if(B*B-4*A*C<0)
return;
double x1=(-B-sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A);
double x2=(-B+sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A);
p1=point(x1,-(a*x1+c)/b);
p2=point(x2,-(a*x2+c)/b);
f[++m]=pdi((p1.x-x)/vx,id);
f[++m]=pdi((p2.x-x)/vx,id);
}
int e[100010];
int main()
{
open("bzoj1580");
int n;
scanf("%d%lf%lf%lf%lf%lf",&n,&r,&bx,&by,&bvx,&bvy);
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
solve(i);
sort(f+1,f+m+1);
int s=0,ans=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{
if(!e[f[i].second])
{
e[f[i].second]=1;
s++;
if(f[i].first>0)
ans=max(ans,s);
}
else
{
if(f[i].first>0)
ans=max(ans,s);
s--;
}
}
printf("%d
",ans+tot);
return 0;
}