• 【BZOJ4555】【TJOI2016】【HEOI2016】求和 第二类斯特林数 NTT


    题目大意

      求(f(n)=sum_{i=0}^nsum_{j=0}^i2^j imes j! imes S(i,j)\)

      对(998244353)取模
      
      (nleq 100000)

    题解

    [egin{align} S(n,k)&=frac1{k!}sum_{i=0}^k{(-1)}^iinom{k}{i}{(k-i)}^n\ &=frac1{k!}sum_{i=0}^k{(-1)}^ifrac{k!}{i!(k-i)!}(k-i)^n\ &=sum_{i=0}^kfrac{{(-1)}^i}{i!}frac{{(k-i)}^n}{(k-i)!} end{align} ]

      因为(S(i,j)=0~(i<j)),所以

    [egin{align} f(n)&=sum_{i=0}^nsum_{j=0}^n2^j imes j! imes S(i,j)\ &=sum_{j=0}^n2^j imes j! imessum_{i=0}^nS(i,j)\ &=sum_{j=0}^n2^j imes j! imessum_{i=0}^nsum_{l=0}^jfrac{{(-1)}^i}{l!}frac{{(j-l)}^i}{(j-l)!}\ &=sum_{j=0}^n2^j imes j! imessum_{l=0}^jfrac{{(-1)}^i}{l!}sum_{i=0}^nfrac{{(j-l)}^i}{(j-l)!} end{align} ]

      设

    [A(x)=frac{{(-1)}^i}{i!},B(x)=sum_{i=0}^nfrac{x^i}{x!} ]

      所以

    [B(x)=frac{x^{n+1}-1}{x!(x-1)} ]

    [f(n)=sum_{j=0}^n2^j imes j! imes sum_{i=0}^jA(i)B(j-i) ]

      直接上NTT

      时间复杂度:(O(nlog n))

    代码

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<cstdlib>
    #include<ctime>
    #include<utility>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef pair<int,int> pii;
    ll p=998244353;
    ll fp(ll a,ll b)
    {
    	ll s=1;
    	while(b)
    	{
    		if(b&1)
    			s=s*a%p;
    		a=a*a%p;
    		b>>=1;
    	}
    	return s;
    }
    namespace ntt
    {
    	ll w1[1000010];
    	ll w2[1000010];
    	int rev[1000010];
    	int n;
    	void init()
    	{
    		n=262144;
    		int i;
    		for(i=2;i<=n;i<<=1)
    		{
    			w1[i]=fp(3,(p-1)/i);
    			w2[i]=fp(w1[i],p-2);
    		}
    		rev[0]=0;
    		for(i=1;i<n;i++)
    			rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
    	}
    	void ntt(ll *a,int t)
    	{
    		int i,j,k;
    		ll w,wn,u,v;
    		for(i=0;i<n;i++)
    			if(rev[i]<i)
    				swap(a[i],a[rev[i]]);
    		for(i=2;i<=n;i<<=1)
    		{
    			wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
    			for(j=0;j<n;j+=i)
    			{
    				w=1;
    				for(k=j;k<j+i/2;k++)
    				{
    					u=a[k];
    					v=a[k+i/2]*w%p;
    					a[k]=(u+v)%p;
    					a[k+i/2]=(u-v+p)%p;
    					w=w*wn%p;
    				}
    			}
    		}
    		if(t==-1)
    		{
    			ll inv=fp(n,p-2);
    			for(i=0;i<n;i++)
    				a[i]=a[i]*inv%p;
    		}
    	}
    };
    ll a[500010];
    ll b[500010];
    ll fac[200010];
    int main()
    {
    	ntt::init();
    	int n;
    	scanf("%d",&n);
    	int i;
    	fac[0]=1;
    	for(i=1;i<=n;i++)
    		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    	a[0]=1;
    	for(i=1;i<=n;i++)
    		a[i]=(((i&1?-1:1)*fp(fac[i],p-2))%p+p)%p;
    	b[0]=1;
    	b[1]=n+1;
    	for(i=2;i<=n;i++)
    		b[i]=((fp(i,n+1)-1)*fp(fac[i]*(i-1)%p,p-2)%p+p)%p;
    	ntt::ntt(a,1);
    	ntt::ntt(b,1);
    	for(i=0;i<ntt::n;i++)
    		a[i]=a[i]*b[i]%p;
    	ntt::ntt(a,-1);
    	ll ans=0;
    	for(i=0;i<=n;i++)
    		ans=(ans+fp(2,i)*fac[i]%p*a[i]%p)%p;
    	printf("%lld
    ",ans);
    	return 0;
    }
    
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