【XSY2470】lcm 数学

题目大意

　　(t)组询问, 每组询问给定(n)，求(sum_{k=1}^n[n,k])，其中([a,b])表示(a)和(b)的最小公倍数 .

　　(tleq 300000,nleq 1000000)

题解

[egin{align} sum_{k=1}^n[k,n]&=nsum_{k=1}^nfrac{k}{(k,n)}\ &=nsum_{p|n}frac{1}{p}sum_{k=1}^nk[(k,n)=p]\ &=nsum_{p|n}sum_{k=1}^{lfloorfrac{n}{p} floor}k[(k,frac{n}{p})=1]\ &=nsum_{p|n}frac{frac{n}{p}phi(frac{n}{p})+[frac{n}{p}=1]}{2}\ &=nsum_{p|n}frac{pphi(p)+[p=1]}{2} end{align} ]

　　用线性筛或者其他方法处理出(phi)函数，调和级数的复杂度预处理，每次查表。或者枚举因子。

　　时间复杂度：(O(nlog n))或(O(n+tsqrt{n}))

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int miu[1000010];
int phi[1000010];
int p[1000010];
int b[1000010];
ll e[1000010];
ll f[1000010];
int cnt;
int maxn=1000000;
map<int,ll> d;
void init()
{
	memset(b,0,sizeof b);
	int i,j;
	cnt=0;
	for(i=2;i<=maxn;i++)
	{
		if(!b[i])
		{
			p[++cnt]=i;
			miu[i]=-1;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=maxn;j++)
		{
			b[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)
			{
				miu[i*p[j]]=0;
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			miu[i*p[j]]=-miu[i];
			phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
		}
	}
	e[1]=1;
	for(i=2;i<=maxn;i++)
		e[i]=(ll(i)*phi[i])/2;
	for(i=1;i<=maxn;i++)
		for(j=i;j<=maxn;j+=i)
			f[j]+=e[i];
}
void solve()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	printf("%lld
",f[n]*n);
}
int main()
{
//	freopen("a.in","r",stdin);
//	freopen("a.out","w",stdout);
	init();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
		solve();
	return 0;
}