题目大意
不会博弈论的 yww 在和博弈论大师 yxq 玩一个游戏。
有 (n) 种卡牌，第 (i) 种卡牌有 (b_i) 张。
yww 会先把所有 (B=sum_{i=1}^nb_i) 张卡分成两堆，每堆 (frac{B}{2}) 张。保证 (B) 是偶数。
他们会轮流从第一堆中取卡牌，每次取一张，yww 先取，直到取完为止。
然后他们会轮流从第二堆中取卡牌，每次取一张，yxq 先取，直到取完为止。
取完卡牌后，他们会计算自己的得分。假设某人在某一堆中取了 (x) 张第 (i) 种卡牌，那么就能获得 (lfloorfrac{x}{a_i} floor c_i) 分。
每个人的最终得分是这个人在两堆中的得分之和。
yxq 想最小化 yww 的得分。
作为一名博弈论大师，yxq 每步都会执行最优策略。
yww 不会博弈论，所以请你帮 yww 求出他最多能获得多少分。
记 (A=sum_{i=1}^na_i,B=sum_{i=1}^nb_i)；
(1leq a_ileq Aleq 2000,1leq b_ileq Bleq 500000,2mid B,1leq nleq 2000,1leq c_ileq 3000)；
题解
考虑对于一堆牌，yww 先手，他能获得多少分。
对于一种牌 (i)，如果 (b_iequiv -1 pmod {2a_i})，那么先开始拿这种牌的人可以拿到 (lfloor frac{b_i}{2a_i} floor+1) 张，其他情况都只能拿到 (lfloorfrac{b_i}{2a_i} floor) 张。
记 (b_iequiv -1 pmod {2a_i}) 的牌为特殊的牌，按照 (c_i) 从大到小排序，记为 (d_1,d_2,ldots,d_k)，那么最终先手的得分是 (sumlimits_i lfloorfrac{b_i}{2a_i} floor c_i+sumlimits_{2 mid i} c_{d_i})，后手的得分是 (sumlimits_i lfloor frac{b_i}{2a_i} floor c_i+sumlimits_{2mid i} c_{d_i})。
这样就可以设计DP状态了：
(f_{i,j,p1,p2}) 为前 (i) 种牌，第一堆分了 (j) 张，第一堆有 (p1) 种特殊的牌，第二堆有 (p2) 种特殊的牌，yww 的最大收益。
转移时枚举第 (i) 种牌分多少到第一堆。
复杂度为 (O(B^2))。
注意到收益只与每种牌分到第一堆的牌数 (mod {2a_i}) 有关，那么DP的时候就可以只枚举 模 (2a_i) 的值就好了。
还有一个问题，第一堆牌能不能凑出 (frac{B}{2}) 张？
对于一种牌，假设我们把 (k) 张牌放到了第一堆，那么有 (lfloorfrac{b_i-k}{2a_i} floor) 组 (2a_i) 张牌可以随意分配。这个东西等于 (lfloorfrac{b_i}{2a_i} floor) 或 (lfloorfrac{b_i}{2a_i} floor -1)。我们假装它等于 (lfloorfrac{b_i}{2a_i} floor -1)。
只可能有 (O(sqrt{A})) 种不同的 (a_i)，随便DP一下就好了。
记 (g_{i,j}) 为用了前 (i) 种 (a_i) 组出 (j) 张卡牌，第 (i) 种 (a_i) 最少要多少份（每份 (2a_i) 张）（(-1) 表示组不出）。
时间复杂度为 (O(A^2+Bsqrt A))
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=2010;
const int M=500010;
int f[N][2][2][4*N];
int s[N];
int qs[N];
int c[M];
int g[M];
struct info
{
int a,q,v;
};
info a[N];
int cmp(info a,info b)
{
return a.v>b.v;
}
int n;
int main()
{
open("49F");
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d%d",&a[i].a,&a[i].q,&a[i].v);
sort(a+1,a+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i]=s[i-1]+4*a[i].a;
qs[i]=qs[i-1]+a[i].q;
}
memset(f,0x80,sizeof f);
f[0][0][0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int l1=0;l1<=1;l1++)
for(int l2=0;l2<=1;l2++)
{
int x=a[i].q/(2*a[i].a)-1;
for(int k=0;k<=a[i].q;k++)
{
int v1=k/(2*a[i].a);
int v2=(a[i].q-k)/(2*a[i].a);
if(v2<x)
break;
int temp=(v1+v2)*a[i].v;
int p1=l1,p2=l2;
if(v1*2*a[i].a+2*a[i].a-1==k)
{
p1?0:temp+=a[i].v;
p1^=1;
}
if(v2*2*a[i].a+2*a[i].a-1==a[i].q-k)
{
p2?temp+=a[i].v:0;
p2^=1;
}
for(int j=0;j<=s[i-1];j++)
f[i][p1][p2][j+k]=max(f[i][p1][p2][j+k],f[i-1][l1][l2][j]+temp);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(a[i].q/(2*a[i].a)-1>0)
c[a[i].a]+=a[i].q/(2*a[i].a)-1;
memset(g,-1,sizeof g);
g[0]=0;
for(int i=1;i<=s[n];i++)
if(c[i])
{
for(int j=0;j<=qs[n];j++)
if(~g[j])
g[j]=0;
else if(j>=2*i&&(g[j-2*i]>=0&&g[j-2*i]<c[i]))
g[j]=g[j-2*i]+1;
else
g[j]=-1;
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=s[n]&&i<=qs[n]/2;i++)
if(~g[qs[n]/2-i])
for(int i1=0;i1<=1;i1++)
for(int i2=0;i2<=1;i2++)
ans=max(ans,f[n][i1][i2][i]);
printf("%d
",ans);
return 0;
}