洛谷U32670 小凯的数字(比赛)

题目网址

https://www.luogu.org/problemnew/show/U32670

题目背景

NOIP2018 原创模拟题T1

NOIP DAY1 T1 or DAY 2 T1 难度

是否发现与NOIP2017 DAY1 T1 有异曲同工之妙

题目描述

小凯有一天突发奇想，写下了一串数字：l(l+1)(l+2)...(r-1)rl(l+1)(l+2)...(r−1)r

例如：l=2,r=5时，数字为：23452345

l=8,r=12时数字为：8910111289101112

小凯很喜欢数字9，所以他想问你他写下的数字除以9的余数是多少

例如：l=2,r=5时，2345 mod 9 = 5

输入输出格式

输入格式：

第一行为数字Q,表示小凯有Q个问题

第2-Q+1行，每行两个数字 l,r 表示数字范围

输出格式：

对于每行的问题输出一行，一个数字，表示小凯问题的回答

输入输出样例

输入样例#1：

2
2 5
8 12

输出样例#1：

5
5

输入样例#2：

3
1 999
123 456
13579 24680

输出样例#2：

0
6
0

说明

样例1解释：2345 mod 9 = 5   89101112 mod 9 = 5

30% 数据满足：Q<=10;l,r<=100

50% 数据满足：Q<=100;l,r<=10000

70% 数据满足：Q<=1000;l,r<=10^6

100%数据满足：Q<=10000;l,0<r<=10^12且 l<=r

题解

根据本题的数据范围，不难发现一定是一道数论题。这一题的难度和NOIP提高组day1的第一题水平差不多，所以应该不是很难；

解决本题，首先要知道：

定理1、能被9整除的数各位数字之和能被9整除；

定理2、如果有9*n（n为自然数）个连续的数字（如题意，比如123456789），那么该数一定能被9整除

第一点很好理解，其实第二点也同样如此，根据高斯求和公式，（首项+末项）*项数/2，

有计算经验的同学一定知道，（首项+末项）和项数中一定有一个是2的倍数，所以不存在带余除法，

那么因为项数是9的倍数，所以上述公式（首项+末项）*项数/2，一定是9的倍数，所以定理2成立。

那么，根据这两个定理，本题代码就很好写了。

再整理一遍思路：

1.读入问题数量Q，循环Q次，每次读入l和r；

2.计算出数字个数（即r-l+1的值），并对9取余，即定义一个变量cnt=(r-l+1)%9；

3.从r开始，往前依次枚举cnt次（因为cnt对9取过模，所以最多循环9次）

   将枚举出的数字对9取余，加入sum中；

4.输出sum对9取余即可

5.本题还有一个细节：要用long long

代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

int Q;
ll l,r;

void work()
{
    scanf ("%d",&Q);
    while (Q--)
    {
        scanf ("%lld%lld",&l,&r);
        ll cnt=(r-l+1)%9;
        ll sum=0;
        for (ll i=1,k=r;i<=cnt;i++,k--)
            sum+=k%9;
        printf ("%lld
",sum%9);
    }
    return;
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}

出处：https://www.cnblogs.com/yujustin/

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