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10．3二重积分的换元积分法
在一元函数定积分的计算中，我们常常进行换元，以达删繁就简的目的，当然，二重积分也有换元积分的问题。
首先让我们回顾一下前面曾讨论的一个事实。
设换元函数 
，视其为一个由定义域
到
的映射．点
的象点为
，点x的象点为，记
，
则由
到点
的线段长为
，
到
的线段长为
，称
为映射在点到点的平均伸缩率。若
在点处可导，则
=
即
称
是映射在点处的伸缩率。
对于由平面区域到
的映射
我们有如下结论：
引理 若变换
在开区域存在连续偏导数，且雅可比行列式
，
。变换将
平面上开区域变为
平面上开区域
。
，其象点为
，则包含点的面积微元
及与之相对应的包含点
的面积微元
之比是
，即=
下面给出引理3.1的说明，严格的证明从略。由图3。1所示，在内作以点
为顶点的矩形
,而变换，将
分别变为平面上的四点
，矩形
变为曲边四边形
。而曲边四边形
的四个顶点的坐标由泰勒公式表示为
：
：
：
+
+
：
忽略高阶无穷小与，曲边四边形
近似平行四边形，其面积
=
=
=
其中
是矩形的面积。于是
在引理条件下，函数组，在
的某邻域
具有连续的反函数组
再根据9.1节性质1.2有=
于是=
=
定理3.1 若函数
在有界闭区域连续，函数组将平面上区域一一对应地变换为平面上区域，且该函数组在存在连续的偏导数，，则
=
证 用任意分法
将区域分成
个小区域
，其面积分别记为
；变换，将分法变为上的分法
，将分割成个小区域
，其面积分别记为
，由引理可知，对于
，有
于是
，在上对应唯一点
且
，于是
在定理3.2的条件下，变换
在有界闭区域上存在连续的反函数组，他们必在上一致连续，所以当
时，必有又注意到函数
在的连续性，因而他在上可积，于是在
中令，有=完成定理3。2的证明。
在二重积分的计算中，若被积函数为
的形式，或积分区域为所谓的圆形区域时，通常采用极坐标变换
它能使前者化简为一元函数
。
后者若为图3.2所示的区域，利用极坐标变换能化为
平面上的
型区域。则积分=
=
=
特别，极点在边界上的扇形区域，即
，则积分
=
极点在区域的内部，边界线是
的区域，即
则积分
=
例3.1 计算
解 作极坐标变换 
将圆域D变换为矩形区域，
，于是用公式（3.5）得
=
例3.2 计算
，D是由
和
所围的区域。
解 积分区域如图3.5所示，作极坐标变换，则D化为区域，其边界曲线为
=
，
，于是得
=
=
例3．3 
其中D是由
所围成的平面区域
解 区域D及
如图3.6所示，有=
-
而=4
在极坐标系下，有
, 因此=
于是=4－
．
例3．4 计算
，其中D是由曲线
所围成的有界区域．
解由于积分区域D可表示为
故替换
，则积分区域变为
，在极坐标下
于是
例3．5 计算
解 由对称性，原积分
其中
。作广义极坐标变换：
则
变换为矩形区域
（图3.7）
且
于是
例3．6 求曲线
与
所围成区域的面积
解由二重积分的性质可知，区域的面积
作变换：
，
则这个变换
平面上曲线
变为平面
上的曲线
、变为
，于是它将区域变为
平面上由和所未成的区域
（图3.8 ）。且
于是
例3．7 计算
解 作变换：
则
，将变换为闭圆域
，且
故
由对称性
于是
例3．8 计算
，是由
、
、
和
所围成的区域。
解 作变换：
，
，则这个变换将变换为平面上的正方形区域（图3.9）。由于
且
故 
又注意到
，于是
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