樱花，素数筛

求不定方程

​1/x+1/y=1/n!
的正整数解(x,y)的数目。输入一个整数，输出一个整数，表示有多少对 (x,y) 满足题意。答案对10^9+7取模。

首先分式一定很不好弄，所以我们化分为整，得到（x+y）*n!=xy,移项得(x+y)*n!-xy=0,然后两边加上（n!）²,就变成了（n!）²-(x+y)*n!+xy=(n!)²,左边十字相乘变成（n!-x）*(n!-y),令A=(n!-x),B=(n!-y),则有A*B=(n!)²,然后由唯一分解定理，我们知道n!=p₁^a1*p₂^a2*p₃^a3*……p_n^an,其中p_i为n！的素因子，所以（n!）²=（p₁^a1*p₂^a2*p₃^a3*……p_n^an）²，所以（n!）²有（2*a1+1）*(2*a2+1)*……*（2*an+1）个因子，所以只需要素数筛一遍，然后每一个因子就对应了一个答案。

　　但是在写完之后我却t了，在确定自己的素数筛没有问题之后，我在素数筛的代码后面和统计答案的代码后面分别输出了一个l和w,然后我发现当数据为1e6时l很快输出了，w却迟迟输出不了，我本来的意识中是素数并不多，O(n*cnt)（cnt为素数个数）的统计答案是没有什么问题的，可输出cnt的时候我却傻了，cnt是10⁵级别的，不t才怪，于是学习了大佬的方法。具体见代码

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1000005;
int n;
ll ans=1;
int a[maxn];
int v[maxn];//以前我的v数组都是bool类型的，只标记他是不是素数，现在是int类型
int prime[maxn],cnt; 
int tmp;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!v[i])v[i]=i,cnt++,prime[cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            v[i*prime[j]]=prime[j];//我们知道线性素数筛保证了每个合数被自己最小的素因子筛去，所以v数组就是记录了每个数最小的素因子，顺便的事，不会提高复杂度
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=i;j>1;j/=v[j])//直接每次都除以自己的最小的素因子，不用枚举，把复杂度降到nlogn
        {
            a[v[j]]++,a[v[j]]%=mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans*=(2*a[i]+1),ans%=mod;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}