【算法学习笔记】54.约瑟夫问题 模拟、逆推动规 SJTU OJ 1038 二哥的约瑟夫

Description

话说二哥当年学习数据结构的时候遇到了那道猴子报数的题目，其实这就是经典的约瑟夫问题。

可是当年的二哥还是个毛头小子，只会用模拟的方法，而其他同学却使用了一些令二哥完全摸不到头脑的方法。

……二哥一怒之下改了题目……

话说当年花果山的猴子要选大王，选举办法如下：

所有猴子按1-M编号围坐一圈，二哥站在圈中心，由二哥指定一个整数Kn，

之后猴子们从1号开始按顺序报数，报到Kn的猴子退出到圈外，二哥再报出一个整数Kn+1，

然后由刚刚退出的猴子的下一只猴子再开始报数，如此循环报数，直到圈内只剩下一只猴子时，这只猴子就是大王。

由于二哥希望通过此种方法控制花果山，所以现在二哥把他制定的整数序列告诉你，希望你帮他预先算出那只猴子会成为大王。

Input Format

第一行 一个整数M，表示一共有M只猴子

第二行到第M行，每行一个整数 表示二哥即将指定的M-1个整数。这些数都大于0。

Output Format

一个整数，表示最后剩下那只猴子的编号。

Hint

对于40%的数据，M<=1000, K<=1000

对于70%的数据，M<=10000, K<=10000

对于100%的数据，M<=10000, K<=100000000

Sample Input

5
1
2
3
4

Sample Output

4



　1.链表模拟法 很简单 也能AC 优化就是对K进行取余操作
但是要注意一点就是 因为我习惯了用1 2 3 来做代号 在取余时可能会出现K恰好是cnt的倍数 所以要进行单独处理 这点可以用换代号为 0 1 2...来解决
模拟法代码:

#include <iostream>
using namespace std;

int front[10000+10];
int nex[10000+10];
//模拟法
void out(int x){
    nex[front[x]] = nex[x];
    front[nex[x]] = front[x];
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int M;
    cin>>M;
    for (int i = 1; i <= M; ++i)
    {
        front[i] = (i==1) ? M : i-1;
        nex[i] = (i==M) ? 1 : i+1;
    }
    int cur = 1;
    int cnt = M;
    int K;
    while(1){
        cin>>K;
        K %= (cnt);
        if(K==0)
            K+=cnt;
        for (int i = 0; i < K-1; ++i)
        {
            cur = nex[cur];
        }
        out(cur);
        cur = nex[cur];
        cnt--;//出去一只猴子
        if(cnt == 1){
            cout<<cur<<endl;
            break;
        }
    }

    return 0;
}

　　2.数学策略 逆推法 O(n) 

　　我们可以发现每一次踢出一个人以后，都是一个新的约瑟夫环问题，而相邻的两个约瑟夫环问题之间有一个关系。

假设Y1---->Y2 踢出的人在Y1中的编号为s1 = K1-1 (因为从0号人开始报数), 在Y1中编号为s1+1的人在Y2里编号为0 依次类推

　　假如我们已经知道了Y2中被踢出的人是s2

　　　　则 s2与s1 可以建立关系

　　　 s2在Y1中的编号 id =　s2  +  s1 + 1  =  (s2 + K1) % num[1] 

也就是说 在第二局里被踢出的人的在第一局里的编号是 在第二局里的编号+上一次的K 然后对第一局人数取余

我们知道最后一局出局的人的编号是0(只有一个人)

所以可以逆推出这个人在第一局的编号 即是答案

#include <iostream>
using namespace std;
int K[10000]={0};
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int M;
    cin>>M;
    int ans = 0;//最后一个人 是 最后一个约瑟夫环的唯一一个人

    for (int i = 1; i <= M-1; ++i){
        cin>>K[i];
    }

    //从倒数第二个约瑟夫环开始反推 一共有M个约瑟夫环
    for (int i = 2; i <= M; ++i)
    {
        ans = (ans+K[M-i+1]) % i;//此时的上一局有i个人 数了K[M-i+1]才到ans的
        //用0标识初始位置可以有效避免取余后为0的问题
    }    
    cout<<ans+1<<endl;
    return 0;
}//12 2 4 3 5 76 92 92 9 4 13 13