• #容斥原理 20.9.10


    容斥原理

    在这里插入图片描述

    等式左边看作从集合中 所有选任意n个区域的方案,右边表示 每个区域选与不选 的所有方案,是同一个东西。

    假设有k个圈圈,中间的区域开始被算了C(1,k)次,之后减去了C(2, k)次,之后又加上C(3, k)次……最后加上(-1)k-1C(k, k) = 1;
    这也是一个组合恒等式,有很多个组合恒等式,搜一下。

    题目:能被整除的数

    AcWing 890. 能被整除的数

    思路:容斥原理

    公式的实现方式: 位运算 枚举所有的选法;;
    每个同等级的圈圈都可以看做是在这k个数里面选择n合数的组合数
    从n个集合当中选任意多个集合

    答案

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    
    typedef long long LL;
    const int N = 20;
    int p[N];
    int main()
    {
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        
        for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> p[i];//输入所有的p
        int res = 0;//结果
        
        for (int i = 1; i < 1 << m; i ++ )//每个i代表一种取法,每种取法代表了一个圈圈,每个圈圈可以看做是k个圈圈相交得到的圈圈
        {
            int t = 1, s = 0;//s算1的个数也就是算这个圈圈是由几个圈圈橡胶垫得到的圈圈
            for (int j = 0; j < m; j ++ )
                if (i >> j & 1)
                {
                    if ((LL)t * p[j] > n)//要是大于n的话,说明这种数根本不存在。
                    {
                        t = -1;//不用算了。
                        break;
                    }
                    t *= p[j];//倍数
                    s ++;//算1的个数
                }
    
            if (t != -1)//
            {
                if (s % 2) res += n / t;//如果是数个的话就加上
                else res -= n / t;//如果是偶数个的话就减去
            }
        }
        
        cout << res << endl;
        return 0;
    }
    
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