在写这篇博客之前,我被动态规划之类的问题折磨地"遍体鳞伤" 。直到我了解到了闫氏DP分析法。之后,我吃饭更香了,身体更棒了!!!
......
闫氏DP分析法是从集合地角度来分析求解DP问题的。它的具体思想是:找某个依据将某个状态用它的子状态来不重不漏的表示出来,即对这个状态的集合做一个划分,这里的划分犹如离散数学中集合划分--不重不漏!!!然后我们对所有子状态的求解(求最大、最小、累加)就是等效地对原状态求解。
这个集合呢,有一个属性,Max/Min/Count.这就要具体问题具体分析,比如题意,求某某某最大值、最小值、方案数......
言语难以诠释真理...下面我们拿几个例子为例:
题目1、描述:Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。
她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图),从西北角进去,东南角出来。
地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗,上面有若干颗花生,经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。
Hello Kitty只能向东或向南走,不能向西或向北走。
问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。
输入格式
第一行是一个整数T,代表一共有多少组数据。
接下来是T组数据。
每组数据的第一行是两个整数,分别代表花生苗的行数R和列数 C。
每组数据的接下来R行数据,从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数,按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。
输出格式
对每组输入数据,输出一行,内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。
数据范围
1≤T≤100 1≤R,C≤100 0≤M≤1000
输入样例:
2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5输出样例:
8
16
分析图:
题目2、描述:给定一个长度为N的数列,求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数N。
第二行包含N个整数,表示完整序列。
输出格式
输出一个整数,表示最大长度。
数据范围
1≤N≤1000 −10^9≤数列中的数≤10^9
输入样例:
7
3 1 2 1 8 5 6输出样例:
4
分析图:
接下来这道题就是上面两道题的简单僵硬的拼接,会稍微复杂一些,但是原理一样
题目3、描述:X 国王有一个地宫宝库,是 n×m 个格子的矩阵,每个格子放一件宝贝,每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角,出口在右下角。
小明被带到地宫的入口,国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时,如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大,小明就可以拿起它(当然,也可以不拿)。
当小明走到出口时,如果他手中的宝贝恰好是 k 件,则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算,在给定的局面下,他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。
输入格式
第一行 33 个整数,n,m,k,含义见题目描述。
接下来 n 行,每行有 m 个整数 Ci用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。
输出格式
输出一个整数,表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。
该数字可能很大,输出它对 1000000007 取模的结果。
数据范围
1≤n,m≤50 1≤k≤12 0≤Ci≤12
输入样例1:
2 2 2
1 2
2 1输出样例1:
2
输入样例2:
2 3 2
1 2 3
2 1 5输出样例2:
14
分析图: