零散知识点

• (1.)有(n)个独立的在(0)到(1)之间等概率生成的连续型随机变量，则第(i)小的数的期望是(E(X_i)={iover n+1})
  推广一下，若变量的生成范围为([l,r])，则第(i)小数的期望为(E(X_i)=l+{i imes (r-l)over n+1})
  证明

• (2.)有(m)个独立的在(1)到(n)之间等概率生成的离散型随机变量，且两两不同，则其中第(i)小的数的期望是({i imes (n+1)over m+1})

[egin{aligned} E(X_k) &={1over {nchoose m}}sum_{i=1}^ni{i-1choose k-1}{n-ichoose m-k}\ &={1over {nchoose m}}sum_{i=1}^nk{ichoose k}{n-ichoose m-k}\ &={kover {nchoose m}}sum_{i=1}^n{ichoose k}{n+1-(i+1)choose m-k}\ &={kover {nchoose m}}sum_{i=1}^{n+1}{i-1choose k}{n+1-ichoose m-k}\ &={kover {nchoose m}}{n+1choose m+1}\ &={k(n+1)over m+1} end{aligned} ]

• (3.)对于一个数列(f)，其中(f_{0,...,k-1})已经给出，且满足(f_i=sum_{j=1}^{k}f_{i-j}b_j,forall i,igeq k)，其中(b_j)是一个定值，那么(x^n=sum_{j=1}^k x^{k-j}b_j)就称为该数列的特征方程
  这个东西可以用来求解数列的通项公式的，也就是说(f_i=sum_{j=1}^k c_jp_j^i)
  如果特征方程的(k)个根互不相同，则(p_j)就分别是特征方程的(k)个根
  如果有重根，设一个根重复了(c)次，那么我们可以用(p_j,p_j imes i,p_j imes i^2,...,p_j imes i^{c-1})来代替

• (4.)赌徒破产问题：初始时(A,B)两人分别有(a,b)枚硬币，每一局两人分别有(p,1-p)的概率获胜，胜者可从败者手中取一枚硬币，最终某一方硬币为(0)停止，求(A)取得所有硬币的概率
  记(f_i)表示(A)有(i)枚硬币时取得所有硬币的概率，显然有(f_{a+b}=1,f_0=0)
  不难发现(f_i=pf_{i+1}+(1-p)f_{i-1})
  代入数列特征方程有(x=px^2+1-p)
  解得(x_1=1,x_2={1-pover p})
  记(q=x_2)，则可求得通项公式

[f_i= egin{cases} {q^i-1over q^{a+b}-1}& p eq {1over 2}\ {iover a+b}& p={1over 2} end{cases} ]

• (5.Fibonacci)数列平方和
  设(f_0=0,f_1=1)，则(sum_{i=0}^n f_i^2=f_nf_{n+1})
  归纳证明即可

• (6.)定义(n)个变量(x_i)，取值在([0,1))之间随机，且满足(sum_{i=1}^n x_i=1)，求(E(min(x_i)))。这个问题也等价于在([0,1))上随机取(n-1)个点，把线段分成的(n)段的长度中的最小值的期望
  如果我们设最短的一段为(x)，那么剩下的(n-1)段都要大于等于(x)，即

[egin{aligned} P(L_{min}geq x)=(1-nx)^{n-1} end{aligned} ]

于是

[egin{aligned} E(L_{min}) &=int_{0}^{1over n}P(L_{min}geq x){ m d}x\ &=int_{0}^{1over n}(1-nx)^{n-1}{ m d}x\ &={1over n^2} end{aligned} ]

如果我们考虑次长段，那么就是剩下的(1-nx)中最短的一段，即

[egin{aligned} {1-nE(L_{min})over (n-1)^2}+E(L_{min})={1over n}left({1over n}+{1over n-1} ight) end{aligned} ]

于是归纳可得第(k)短的长度为期望为

[egin{aligned} E(L_k)={1over n}left({1over n}+{1over n-1}+...+{1over n-k+1} ight) end{aligned} ]

同时，归纳可得

[egin{aligned} E(L_k)-E(L_{k-1})={1over n(n-k+1)} end{aligned} ]

• (7.K-Nim)，在(Nim)的基础上变为每次最多可以取(K)堆石子进行操作，每堆取的数量可以不同
  结论：记(c_i)为二进制第(i)位为(1)的数的个数，后手必胜当且仅当对于每一个(i)都有(c_iequiv 0pmod{K+1})
  证明留待读者自行思考，因为我也不会

• (8.)线性基求交 这里

• (9.)类欧几里得 这里

• (10.)区间子串个数 这里

• (11.)位运算卷积 这里

• (12.)CH定理和线性递推 这里

• (13.)BM算法 这里

• (14.)约瑟夫问题 这里

• (15.)下降幂与上升幂与普通幂的转化

[egin{aligned} & x^n=sum_kegin{Bmatrix}{n\ k}end{Bmatrix}x^{underline k}\ & x^{underline n}=sum_kegin{bmatrix}{n\ k}end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^{k}\ & x^n=sum_kegin{Bmatrix}{n\ k}end{Bmatrix}(-1)^{n-k}x^{overline k}\ & x^{overline n}=sum_kegin{bmatrix}{n\ k}end{bmatrix}x^{k}\ end{aligned} ]

• (16.)第一类斯特林数按行求和 这里

• (17.)对于一个平面图，有欧拉定理(V-E+F=C+1)，其中(V)为点数，(E)为边数，(F)为面数（这里指平面），(C)为连通块数

• (18.)偏序集求最长反链方案 这里

• (19.)拟阵 这里