「学习笔记」Hall定理

Descripition

设一张二分图两部点数为 ((x,y),x<y)，则其的一个完备匹配定义为 左部 (x) 个点成为匹配点

特别地，当 (x=y) 时，这类匹配也被称为完备匹配

一个如上定义的二分图存在 完备匹配 的充要条件是对于左部点的大小为 (k) 的任意子集 (S)，这些点在右部连到的点集（也被称为 (S) 的邻域，记为 (N(S))）大小不小于 (k)

Proof

首先证明必要性，如果一个点集的 (N(S)) 不足 (|S|)，那么该集合并不能找到一个完备匹配，与定义相反

其次是充分性，考虑使用归纳的手段，这部分分两种情况：

• 如果存在一个严格子集 (S) 满足 (S=N(S))，则子集本身存在完备匹配

  如果删去 (S,N(S)) 后出现不满足条件的集合 (T)，那么在原二分图中取子集 (Scup T)，必然有 (|N(Scup T)|<|Scup T|)，与题设矛盾

  那么由此证明如果存在 (|S|=|N(S)|)，( m{Hall}) 定理成立

• 如果所有子集的 (|N(S)|) 均大于 (|S|)，那么找到一个点 (u) 并找到 ((u,v)in E)，删掉 (u,vin V,(u,* ), (* ,v)in E)

  不难发现此时剩下的二分图每个子集 (S) 都能满足 (|N(S)|ge |S|)，而且因为删掉了一个点，问题是原问题的子问题

  根据归纳假设，( m{Hall}) 定理在此情况下也成立

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例题

CF1519F

对于所有子集 (S)，均需满足下式：

[displaystyle{sum_{iin S}a_ilesum_{jin(cup_{iin S}L_i )}b_j} ]

那么把每个箱子和锁拆成 (a_i,b_i) 个点，每个箱子上每个点向每个锁的每个点连边

设箱子对应的点为左部点，若满足其有完美匹配，则上式成立

那么状压 (DP) 可以很好的解决这个问题：设 ( m{dp(i,S)}) 表示考虑了前 (i) 个箱子后，右部点 每个锁剩下的点数为 (S)

这里 (S) 使用五进制表示，实现每次暴力编码解码即可

转移考虑枚举当前箱子拆出来的点匹配右边的哪种点，匹配几个，注意产生匹配就要付出代价，但是只用付出一次

用 ( m{dfs}) 实现转移是容易的

合法状态并不能让复杂度达到 (Theta(n imes 5^{2n})) 的上界，但是朴素 ( m{dfs}) 过了？？

ARC076F

本题需要 ( m{Hall}) 定理的一个推论：一个任意二分图 ((V,E)) 的最大匹配为 (|V|-maxlimits_{Sin V}{|S|-|N(S)|})

该推论可能可以通过增广路和匈牙利算法理解

问题即求解 (maxlimits_{Sin V}{|S|-N(S)})

发现对于一个特定的点集 (x)，其结果就是 (|S|-maxlimits_{iin S} L_i-(m+1-minlimits_{iin S} R_i))

使用数据结构维护扫描线容易完成