【hdu6051】If the starlight never fade

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Solution

​　　神仙题qwq好吧我个人感觉是神仙题

​​　　这题其实有一个比较野路子的做法。。就是。。打表观察。。反正场上ckw大佬就是这样把这题A穿的%%%

​​　　然而实际上正解很神秘或者说很妙。。虽然说是不是用原根是。。套路？反正记录一下：

​​　　注意到(P)是奇质数，那么我们可以找到一个模(P)意义下的原根(g)

​​　　然后因为原根具有一些十分优秀的性质（存在唯一的(a)满足(g^a=x)，其中(xin [1,p),ain [1,p))）所以我们可以开始快乐了

​　　我们记(x=g^a,y=g^b(a,bin [1,p)))，那么原来求(f(i))的式子可以变成：

[egin{aligned} (x+y)^iequiv x^i(mod P)Rightarrow (1+g^{b-a})^iequiv 1(mod P) end{aligned} ]

​​　　（就是两边同除以(x^i)）

​　　然后因为(1+g^{b-a}>=2)，所以一定存在唯一一个(kin [1,p-1))满足：

[g^kequiv1+g^{b-a}(mod P) ]

​　　所以我们可以把上面的式子写成：

[g^{ki}equiv 1(mod P) ]

​　　也就是说((P-1)|ki)（因为原根的性质并且(g^{P-1}equiv 1 (mod P))），那么考虑(k)的取值，我们可以把(k)写成这样：

[k=frac{s(P-1)}{i}=frac{s'(P-1)}{gcd(P-1,i)} ]

​　　然后因为(kin [1,P-1))，所以(s'in [1,gcd(P-1,i)))，所以(k)总共有(gcd(P-1,i)-1)种取值

​​　　这个时候反过来想，这(gcd(P-1,i)-1)种取值，对应的是那么多个不同的(k)，再反推回去对应的就是那么多个(b-a)的取值，也就是说当(b)固定的时候，也就是(y)固定的时候，有那么多个(a)可以取（也就是说有那么多个(x)可以取），即对于每一个(y)，能取的(x)都有(gcd(P-1,i)-1)个

​　　那所以(f(i)=m(gcd(P-1,i)-1))

​​　　（可以这样一路推上去都是因为原根那个一一对应的性质，否则不能进行这么神秘的操作）

​　　那所以我们的问题变成了求：

[sumlimits_{i=1}^{P-1}icdot m(gcd(P-1,i)-1) ]

​​　　这个时候我们就要开始大力化式子了qwq：

[egin{aligned} &sumlimits_{i=1}^{P-1}icdot m(gcd(P-1,i)-1)\ =&m(sumlimits_{i=1}^{P-1}icdot gcd(P-1,i)-sumlimits_{i=1}^{P-1}i)\ =&msumlimits_{d|(P-1)}dsumlimits_{d|i,1<=i<=P-1}i[gcd(P-1,i)=d]-frac{m(P-1)(P-2)}{2}\ =&msumlimits_{d|(P-1)}d^2sumlimits_{i=1}^{frac{P-1}{d}}i[gcd(frac{P-1}{d},i)=1]\ end{aligned} ]

​​　　这个时候我们需要一个黑科技：

[egin{aligned} &sumlimits_{i=1}^{n}i[gcd(n,i)=1]\ =&frac{1}{2}sumlimits_{i=1}^n (i+(n-i))[gcd(n,i)=1]\ =&frac{n}{2}sumlimits_{i=1}^n [gcd(n,i)=1]\ =&frac{ncdot varphi(n)}{2} end{aligned} ]

​​　　具体为什么的话就是。。如果说我们知道(gcd(n,i)=1)，我们可以推出(gcd(n,n-i)=1)，因为如果(gcd(n,n-i)=x(x>1))，那么(i=n-(n-i))应该也是(x)的倍数，所以(gcd(n,i) eq 1)（最少为(x)），所以矛盾，得证

​​　　然后我们把每一对(i)和(n-i)凑在一起就是上面那个式子的样子了

​　　然后对于(n=1)的情况需要特判一下就是如果(n=1)那么应该是等于(1)，也就是(frac{ncdot varphi(n)+[n=1]}{2})

​　　

​​　　然后有了这个黑科技我们就可以得到最终的式子：

[egin{aligned} sumlimits_{i=1}^{P-1}if(i) =msumlimits_{d|(P-1)}d^2frac{frac{P-1}{d}cdot varphi(frac{P-1}{d})+[frac{P-1}{d}=1]}{2} end{aligned} ]

​​　　然后(varphi)的话直接根号求，然后枚举一下因数就好了

​　　

​​　　代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MOD=1e9+7,inv2=500000004;
int n,m,P,ans,T;
int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%MOD;}
int add(int x,int y){return (1LL*x+y)%MOD;}
int Phi(int x){
	int ret=1;
	for (int i=2;i*i<=x;++i){
		if (x%i==0) ret=mul(ret,(i-1)),x/=i;
		while (x%i==0) ret=mul(ret,i),x/=i;
	}
	if (x>1) ret=mul(ret,(x-1));
	return ret;
}
int calc(int n){
	int ret=0,x,tmp;
	for (int i=1;i*i<=n;++i){
		if (n%i) continue;
		x=n/i;
		tmp=add(mul(Phi(x),x),(x==1));
		tmp=mul(1LL*i*i%MOD,tmp);
		ret=add(ret,tmp);

		if (i*i==n) continue;
		x=i;
		tmp=add(mul(Phi(x),x),(x==1));
		tmp=mul(1LL*(n/i)*(n/i)%MOD,tmp);
		ret=add(ret,tmp);
	}
	ret=mul(ret,inv2);
	ret=add(ret,MOD-(1LL*(n+1)*n/2)%MOD);
	return ret;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
#endif
	int tmp,x;
	scanf("%d",&T);
	for (int o=1;o<=T;++o){
		scanf("%d%d",&m,&P);
		ans=calc(P-1);
		printf("Case #%d: %d
",o,mul(m,ans));
	}
}