【bzoj3782】上学路线

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Solution

　　权限题的话qwq简单说一下题面吧

　　就是要从((0,0))走到((n,m))然后中间有(T)个点是坏的（不能走），然后每次只能往上或者往右走，求方案数(mod P)的值，(1<=n,m<=10^{10})，(0<=T<=200)，(或p=1000003或1019663265)

​　　

　　先不管范围

　　首先先看如果(T=0)的话怎么求，那么直接是(inom {n+m} n)或者(inom {n+m} m)就好了

　　具体解释的话就是，枚举往右（或者上）走的是哪几步

​　　

　　但是如果现在(T>0)呢？

　　最简单粗暴的想法就是。。大力容斥，从总的里面减掉走到某个坏点然后再走到终点的，那现在的问题就是怎么求经过坏点的方案数

　　我们可以枚举经过的第一个坏点，那么经过坏点的方案数就是

[sum（从(0,0)走到这个坏点，且中途不经过其他坏点的方案数）*（这个坏点走到当前点的方案数） ]

　　会发现前面的部分跟我们要求的问题是一样的，而后面的部分可以直接用组合数求出

​　　

　　为了方便，我们给点编一个号，第(i)个点的坐标为((x_i,y_i))

　　设(f[i])表示从((0,0))走到((x_i,y_i))的方案数，那么可以得到：

[f[i]=inom {x_i+y_i}{x_i}-sum_{j在i左下且是坏的} f[j]*inom {(x_i-x_j)+(y_i-y_j)}{x_i-x_j} ]

　　具体写的时候，我们暴力将((n,m))这个点加进去作为第(T+1)个点计算，那么最后的答案就是(f[T+1])

　　

　　然而。。这并没有结束

　　现在我们加上范围和模数，分两类情况讨论一下：

1、如果(p=1000003)

　　这个是一个质数，那直接Lucas定理就好啦，比较开心

2、如果(p=1019663265)

　　很明显不是一个质数，(p=1019663265=3*5*6793*10007)

​　　那么这个时候我们还需要加上一个中国剩余定理才能用Lucas。。。

　　大概就是我们先用Lucas定理算出在模(，3，5,6793,10007)下的答案，然后用中国剩余定理CRT合并

　　具体的话这里不展开讲了，可以传送一下到 -->这里

　　然后这题就愉快地做完啦

　　

　　一些实现的小细节：

1、注意当(p=1019663265)时是超了long long的。。

2、为了方便后面的实现建议一开始先将点排个序

3、开个数组存模数什么的写的比较爽

　　

　　代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1000010;
struct xxx{
	ll x,y;
	friend bool operator < (xxx x,xxx y)
	{return x.x==y.x?x.y<y.y:x.x<y.x;}
}a[210];
int fac[5][N],invfac[5][N],Mod[5],rec[5];
ll f[210];
ll n,m,T,p;
int Id;
ll Lucas(ll n,ll m);
void prework();
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y);
ll CRT(int *w,int *a,int n);
void solve(int n,int id);
ll C(int n,int m,int id){return n<m?0:1LL*fac[id][n]*invfac[id][m]%Mod[id]*invfac[id][n-m]%Mod[id];}
ll get_C(int n,int m,int id);
ll ksm(ll x,int y,int id);

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
#endif
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&T,&p);
	for (int i=1;i<=T;++i)
		scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);
	sort(a+1,a+1+T);
	if (a[T].x!=n||a[T].y!=m) a[++T].x=n,a[T].y=m;
	prework();
	solve(T,Id);
}

ll Lucas(ll n,ll m,int id){
	if (n<Mod[id]&&m<Mod[id]) return C(n,m,id);
	return 1LL*C(n%Mod[id],m%Mod[id],id)*Lucas(n/Mod[id],m/Mod[id],id)%Mod[id];
}

void prework(){
	Mod[0]=1000003; Mod[1]=3; Mod[2]=5; Mod[3]=6793; Mod[4]=10007;
	if (p==Mod[0]) Id=0;
	else Id=1;
	for (int i=0;i<5;++i) fac[i][0]=1;
	for (int j=0;j<5;++j)
		for (int i=1;i<Mod[j];++i)
			fac[j][i]=1LL*fac[j][i-1]*i%Mod[j];
	for (int i=0;i<5;++i) invfac[i][Mod[i]-1]=ksm(fac[i][Mod[i]-1],Mod[i]-2,i);
	for (int j=0;j<5;++j)
		for (int i=Mod[j]-2;i>=0;--i)
			invfac[j][i]=1LL*invfac[j][i+1]*(i+1)%Mod[j];
}

ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if (b==0){x=1; y=0; return a;}
	ll gcd=ex_gcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
	x=y; y=tmp-a/b*y;
	return gcd;
}

ll CRT(int *w,int *a,int n){
	ll x,y,ret=0,mod=1,tmp;
	for (int i=1;i<=n;++i) mod*=w[i];
	for (int i=1;i<=n;++i){
		tmp=mod/w[i];
		ex_gcd(w[i],tmp,x,y);
		ret=(ret+y*tmp*a[i])%mod;
	}
	return (ret+mod)%mod;
}


ll get_C(ll n,ll m,int id){
	if (!n) return 1;
	if (n<m) return 0;
	if (id==0) return Lucas(n,m,id);
	for (int i=1;i<5;++i) 
		rec[i]=Lucas(n,m,i);
	return CRT(Mod,rec,4);
}

void solve(int n,int id){
	for (int i=1;i<=n;++i){
		f[i]=get_C(a[i].x+a[i].y,a[i].x,id);
		for (int j=1;j<i;++j)
			if (a[j].x<=a[i].x&&a[j].y<=a[i].y)
				f[i]=(f[i]+p-f[j]*get_C(a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y,a[i].x-a[j].x,id)%p)%p;
	}
	printf("%lld
",f[n]);
}

ll ksm(ll x,int y,int id){
	ll ret=1,base=x;
	for (;y;y>>=1,base=base*base%Mod[id])
		if (y&1) ret=ret*base%Mod[id];
	return ret;
}