pxp

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Description

　　给定 (n), 求(sumlimits_{p,q∈primes}[pq≤n])
　　(其中 primes 表示全体质数组成的集合)
　　(其中 [expression] 当 expression 为真时值为 (1), 否则为 (0))

Input

　　一行一个数 (n)

Output

　　一行一个数表示答案

Sample Input

sample 1:
1
sample 2:
5
sample 3:
10

Sample Output

sample 1:
0
sample 2:
1
sample 3:
6

HINT

　　对于 20% 的数据, (1≤n≤10^8)
　　对于 100% 的数据 , (1≤n≤10^{11})

---

Solution

　　（所以为什么学长强行出了一道科普性质的题啊qwq被科普到了qwq）

• 20%

　　线性筛爆搞一下就好了

• 100%

　　于是乎这里就科普了一种十分神秘的筛法了qwq

　　首先先想想怎么去求我们的(ans)

　　用(pcnt(i))表示小于等于(i)的素数的个数，用(cnt)表示小于等于(sqrt{n})的素数的个数，(P)为素数列表，那么

[ans=(2*sumlimits_{i=1}^{cnt}pcnt(lfloor frac{n}{P_i} floor)-i)+cnt ]

　　具体一点的话就是，如果两个素数(p)和(q)的乘积小于等于(n)，那么这两个素数中必定有一个小于等于(sqrt{n})，所以我们只要枚举小于等于(sqrt{n})的那个素数然后把(pcnt(lfloorfrac{n}{p} floor))累加起来最后乘个(2)就好了，然而由于这样在枚举的时候会重复，所以我们钦定每个素数只算与大于它的素数相乘的贡献，因此要减掉(i)（也就是前面小于p的数中有多少个素数），最后再加上自己乘自己的(cnt)种情况就好了

　　

　　那么现在的问题就是要求(pcnt(i))，我们先不考虑空间的问题

　　考虑把(pcnt(i))筛出来，大致思路如下：

　　　　1.去掉既不是合数也不是素数的(1)

　　　　2.去掉小于等于i的合数

　　去掉(1)的话就是初始化(pcnt(i)=i-1)，这个比较好搞

　　去掉合数的话，我们考虑用每个素数(p)去筛掉(i>p)的(pcnt(i))中的一些数

　　考虑每个(p)能够筛掉的部分，应该是形如(p*k (kin [2,lfloor frac{i}{p} floor]))的

　　而因为我们是从小到大一直用不同的素数去筛，所以到用(p)筛的时候，(pcnt(i))中包含的数的最小质因子应该是大于等于(p)的，所以(p)能够筛掉的部分，实际上应该是形如(的最小质因子p*k (k的最小质因子>=p))，也就是说实际上真正能够被(p)筛掉数的(i)应该满足：(i>=p^2)

　　再考虑一下当前那些还没有被完全筛成正确答案的(pcnt(x))具有什么性质：

　　　　1.(x>p)

　　　　2.(pcnt(x))由两部分组成，对于小于(p)的部分，所有的合数已经被筛完了，而大于(p)的部分，仅有最小 质因子(>=p)的数

　　　　也就是说(pcnt(x))=小于(p)的素数个数 + (p)到(x)中最小质因子(>=p)的数的个数
　　　　

　　然后回去看对于(pcnt(i))来说(p)能够筛掉的数，我们会发现其实上面提到的(k)的个数其实就是(pcnt(lfloor frac{i}{p} floor)-pcnt(p-1))

　　具体一点的话就是：

　　（因为只有对于(i>=p^2)的(pcnt(i))，(p)才能筛掉数，所以接下来讨论的(pcnt(i))都默认(i>=p^2)）

　　因为(i>=p^2)，所以(lfloor frac{i}{p} floor>=p)

　　对于大于的情况，(pcnt(lfloor frac{i}{p} floor)=小于p的素数个数+p到lfloor frac{i}{p} floor中的最小质因子>=p的数的个数)
　　那么(k)的个数就是(pcnt(lfloor frac{i}{p} floor)-pcnt(p-1))（(pcnt(p-1))已经被筛好了）

　　对于等于的情况，能去掉的只有(p^2)，此时(pcnt(lfloor frac{i}{p} floor)=pcnt(p))， 相减一下得到(1)，也是成立的

　　

　　综上，筛掉合数我们要做的就是：

　　用每个素数去筛，对于每个(i>=p^2)，从(pcnt(i))减去(pcnt(lfloor frac{i}{p} floor)-pcnt(p-1))即可

　　至于素数，其实也不用预处理什么的，只要判断(pcnt(i))与(pcnt(i-1))是否相等即可，不等说明(i)是素数

　　

　　然而现在的问题是，空间开不了这么大啊

　　我们考虑将(pcnt(i))分成两部分：

　　(p1(i)=pcnt(i))和(p2(i)=pcnt(lfloor frac{n}{i} floor))，(iin[1,sqrt{n}])

　　(p1(i))的话直接算就好了

　　(p2(i))的话，考虑用(p)来筛的情况，我们套回上面的式子稍微化一下得到：

[egin{aligned} p2(i)&=pcnt(lfloor frac{n}{i} floor)\ &=pcnt(lfloor frac{n}{i} floor)-(pcnt(lfloor frac{lfloor frac{n}{i} floor}{p} floor)-pcnt(p-1))\ &=pcnt(lfloor frac{n}{i} floor)-(pcnt(lfloor frac{n}{i*p} floor))-pcnt(p-1))\ end{aligned} ]

　　考虑(lfloor frac{n}{i*p} floor)的取值，如果说这个值小于等于(sqrt{n})那么(pcnt(lfloor frac{n}{i*p} floor)=p1(lfloor frac{n}{i*p} floor))，否则(pcnt(lfloor frac{n}{i*p} floor)=p2(i*p))

　　那就直接在枚举的时候判断一下就好了

　　注意最后统计(ans)的时候因为我们要调用的是(（）pcnt(lfloor frac{n}{P_i} floor)（lfloor frac{n}{P_i} floor>=sqrt{n}）)，所以应该是用(p2(lfloor frac{n}{lfloor frac{n}{P_i} floor} floor))
　　

　　代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long 
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
ll p1[MAXN],p2[MAXN],lis[MAXN];
ll n,m,sq,ans,cnt;

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
#endif
	scanf("%lld",&n);
	sq=sqrt(n);
	for (int p=2;p<=sq;++p) p2[p]=n/p-1,p1[p]=p-1;
	for (ll p=2;p<=sq;++p)
		if (p1[p]!=p1[p-1]){
			lis[++cnt]=p;
			for (ll i=1;i<=sq&&1LL*p*p<=n/i;++i){
				if (n/(1LL*p*i)>sq)
					p2[i]-=p2[p*i]-p1[p-1];
				else
					p2[i]-=p1[n/(1LL*p*i)]-p1[p-1];
			}
			for (int i=sq;i>=p*p;--i){
				p1[i]-=p1[i/p]-p1[p-1];
			}
		}
	ans=0;
	for (int i=1;i<=cnt;++i)
		ans+=p2[n/(n/lis[i])]-i;
	printf("%lld
",ans*2+cnt);
}