贝尔曼-福特算法与迪科斯彻算法类似，都以松弛操作为基础，即估计的最短路径值渐渐地被更加准确的值替代，直至得到最优解。在两个算法中，计算时每个边之间的估计距离值都比真实值大，并且被新找到路径的最小长度替代。 然而，迪科斯彻算法以贪心法选取未被处理的具有最小权值的节点，然后对其的出边进行松弛操作；而贝尔曼-福特算法简单地对所有边进行松弛操作，共|V | − 1次，其中 |V |是图的点的数量。在重复地计算中，已计算得到正确的距离的边的数量不断增加，直到所有边都计算得到了正确的路径。这样的策略使得贝尔曼-福特算法比迪科斯彻算法适用于更多种类的输入。
贝尔曼-福特算法的最多运行O（|V|·|E|)次，|V|和|E|分别是节点和边的数量）。
贝尔曼-福特算法与迪科斯彻算法最大的不同：bellman-Ford算法可以存在负权边，而dijkstra算法不允许出现负权边；
bellman-Ford算法的步骤：
步骤1：初始化图
步骤2 ：对每一条边进行松弛操作
步骤3：检查负权环
procedure BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source) // 该实现读入边和节点的列表，并向两个数组（distance和predecessor）中写入最短路径信息 // 步骤1：初始化图 for each vertex v in vertices: if v is source then distance[v] := 0 else distance[v] := infinity predecessor[v] := null // 步骤2：重复对每一条边进行松弛操作 for i from 1 to size(vertices)-1: for each edge (u, v) with weight w in edges: if distance[u] + w < distance[v]: distance[v] := distance[u] + w predecessor[v] := u // 步骤3：检查负权环 for each edge (u, v) with weight w in edges: if distance[u] + w < distance[v]: error "图包含了负权环"
题意：John在N个农场之间有path与wormhole ，path+时间，wormhole-时间；求是否存在某点满足，John 旅行一些 paths和wormholes，回到原点时间为负。
思路：标准bellman-Ford算法；（检查负权环）
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdlib> #include <ctime> #include <cmath> #include <cstdio> #include <string> #include <cstring> #include <vector> #include <queue> #include <stack> #include <set> #define c_false ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0) #define INF 0x3f3f3f3f #define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f #define zero_(x,y) memset(x , y , sizeof(x)) #define zero(x) memset(x , 0 , sizeof(x)) #define MAX(x) memset(x , 0x3f ,sizeof(x)) #define swa(x,y) {LL s;s=x;x=y;y=s;} using namespace std ; #define N 505 #define lowbit(k) k&(-k) const double PI = acos(-1.0); const int M = 1e5+7; typedef long long LL ; int farm, field, path, wormhole, sum; int dis[N]; struct way{ int Begin, End, Time; }a[N*N]; bool BellmanFord(){ for(int i = 2; i <= field; i++) dis[i] = M; ///初始化操作； for(int i = 1; i < field; i++){ ///松弛操作； for(int j = 1; j <= sum; j++){ if(dis[a[j].End] > dis[a[j].Begin] + a[j].Time) dis[a[j].End] = dis[a[j].Begin] + a[j].Time; } } for(int i = 1; i <= sum; i++) ///检查负权环； if(dis[a[i].End] >dis[a[i].Begin] +a[i].Time) return false; return true; } int main(){ //freopen("in.txt","r",stdin); //freopen("out.txt","w",stdout); //ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); scanf("%d", &farm); while(farm--){ int s, e, t, k = 0; scanf("%d%d%d", &field, &path, &wormhole); for(int i = 0; i < path; i++){ scanf("%d%d%d", &s, &e, &t); k++; a[k].Begin = s; a[k].End = e; a[k].Time = t; k++; a[k].Begin = e; a[k].End = s; a[k].Time = t; } for(int i = 0; i < wormhole; i++){ scanf("%d%d%d", &s, &e, &t); k++; a[k].Begin = s; a[k].End = e; a[k].Time = -t; } sum = k; if(!BellmanFord()) printf("YES "); else printf("NO "); } return 0; }
题意：N种货币，M个交易点，每次交易要收佣金，求是否存在增值的方法。
思路：刚好与Bellman-Ford算法相反，检查正权环；
A到B的边权为：B = (A - Cab)*Rab；
discuss里有人讨论环是否包含了S点，其实环没必要包含S点，
因为只要找到了一个可以无限增加财富的环，增加财富后再回到S点就可以了。
所以环是没必要包含S点的。
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdlib> #include <ctime> #include <cmath> #include <cstdio> #include <string> #include <cstring> #include <vector> #include <queue> #include <stack> #include <set> #define c_false ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0) #define INF 0x3f3f3f3f #define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f #define zero_(x,y) memset(x , y , sizeof(x)) #define zero(x) memset(x , 0 , sizeof(x)) #define MAX(x) memset(x , 0x3f ,sizeof(x)) #define swa(x,y) {LL s;s=x;x=y;y=s;} using namespace std ; #define N 505 #define lowbit(k) k&(-k) const double PI = acos(-1.0); const int M = 1e5+7; typedef long long LL; int n, m, S, sum; double Rab, Cab, Rba, Cba, V; double dis[N]; struct way{ int Begin, End; double Change, Rate; }a[N*N]; bool BellmanFord(){ zero(dis); dis[S] = V; int sign; for(int i = 0; i <= n; i++){ sign = 0; for(int j = 1; j <= sum; j++){ if(dis[a[j].End] < (dis[a[j].Begin] - a[j].Change)*a[j].Rate) dis[a[j].End] = (dis[a[j].Begin] - a[j].Change)*a[j].Rate; sign = 1; } if(!sign) break; } for(int j = 1; j <= sum; j++){ if(dis[a[j].End] < (dis[a[j].Begin] - a[j].Change)*a[j].Rate) return true; } return false; } int main(){ //freopen("in.txt","r",stdin); //freopen("out.txt","w",stdout); //ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); while(~scanf("%d%d%d%lf", &n, &m, &S, &V)){ int x, y, k = 0; for(int i = 0; i < m; i++){ scanf("%d%d%lf%lf%lf%lf", &x, &y, &Rab, &Cab,&Rba,&Cba); ++k; a[k].Begin = x; a[k].End = y; a[k].Change= Cab; a[k].Rate = Rab; ++k; a[k].Begin = y; a[k].End = x; a[k].Change= Cba; a[k].Rate = Rba; } sum = k; if(BellmanFord()) printf("YES "); else printf("NO "); } return 0; }
题意：酋长卖女儿，N个物品，阶级差判断是否连通，金币看作边权。求最小价格。（存在自己到自己的边）
设：dis[i] 为购买i物品需要的最小价格；pre[i] 为阶级；
初始化：dis[i] = prise; else INF;
边权：(A->B) B = A + dis[a[i].money];
关键在于阶级的判断：要保证以a[1]为终点的路径中满足阶级差不大于m；
开始以为边的两点都只要满足[pre[1] - m, pre[1] +m]就可以了；
但是如果边的两点的差值就直接大于m呢？(有人提出了越等级的要求！)
这时候就要满足全部[pre[1]-m,a[1]],[pre[1]-m+1, pre[1]+1]………[pre[1], pre[1] +m]；
对于每个物品先标记再求；取其最小值即可；
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdlib> #include <ctime> #include <cmath> #include <cstdio> #include <string> #include <cstring> #include <vector> #include <queue> #include <stack> #include <set> #define c_false ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0) #define INF 0x3f3f3f3f #define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f #define zero_(x,y) memset(x , y , sizeof(x)) #define zero(x) memset(x , 0 , sizeof(x)) #define MAX(x) memset(x , 0x3f ,sizeof(x)) #define swa(x,y) {LL s;s=x;x=y;y=s;} using namespace std ; #define N 505 #define lowbit(k) k&(-k) const double PI = acos(-1.0); const int M = 1e5+7; typedef long long LL; int n, m, S, sum, P, L, X; int dis[N],pre[N]; bool could[N]; struct way{ int Begin, End, Money; }a[N*N]; void BellmanFord(){ for(int i = 2; i <= n; i++) if(dis[i] == 0) dis[i] = M; for(int i = 1; i <= n; i++){ for(int j = 1; j <= sum; j++){ if(could[a[j].End] && could[a[j].Begin]) if(dis[a[j].End] > dis[a[j].Begin] + a[j].Money) dis[a[j].End] = dis[a[j].Begin] + a[j].Money; } } } int main(){ //freopen("in.txt","r",stdin); //freopen("out.txt","w",stdout); //ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); while(~scanf("%d%d", &m, &n)){ zero(dis);zero(pre); int x, y, k = 0; for(int i = 1; i <= n; i++){ scanf("%d%d%d", &P, &L, &X); dis[i] = P; pre[i] = L; for(int j = 1; j <= X; j++){ scanf("%d%d", &x, &y); ++k; a[k].Begin = x; a[k].End = i; a[k].Money = y; } } sum = k; int MIN = M; for(int i = 0; i <= m; i++){ zero(could); for(int j = 1; j <= n; j++){ if(pre[1] - (m-i) <= pre[j] && pre[1] + i >= pre[j]){ could[j] = true; //cout<<pre[j]<<" "<<j<<endl; } } BellmanFord(); if(dis[1] < MIN) MIN = dis[1]; //cout<<dis[1]<<endl; } printf("%d ", MIN); } return 0; }