数位DP （51nod）

题目：数字1的数量

思路：首先考察不同位数以内的所有整数出现1的次数，例如四位数以内[0,9999]，个十百千位均有可能出现1，

　　　　出现1的时候，其它三个位均可以是0~9，所以假设固定一个位为1，另外三个位的可能性是10*10*10

　　　　所以总共出现4*10*10*10 = 4000次1，所以一个完整的k位数中包含1的个数是k * 10^(k-1)

　　　　对于一个数字n，可以将十进制拆成[p1][p2...pk]的形式，

　　　　如果p1==0，n = [p2...pk] = [p2][p3...pk]，转化为子问题

　　　　如果p1==1，这时包含了三种情况

　　　　　　　　1> p1位=0时，后边k-1位包含 (k-1) * 10^(k-2)个1

　　　　　　　　2> p1位=1时，p1位重复了[p2...pk] + 1 个1

　　　　　　　　3> p1位=1时，[p2...pk]出现1的次数（这是一个子问题，可以递归）

　　　　如果p1 > 1，这时包含了三种情况

　　　　　　　　1> p1位=0,1...p1-1时（共p1个可能），后面k-1位包含 (k-1) * 10^(k-2)个1

　　　　　　　　2> p1位=1时，p1位重复了10^(k-1)个1

　　　　　　　　3> p1位=p1时，[p2...pk]出现1的次数（这是一个子问题，可以递归）

　　　　代码是根据这个原理从后往前累加的

 容易得到状态转移方程：设dp[i]为数位i及其之后的数位的1出现次数；len为数的长度；k为当前dp[i]的位置；a[i]用于存储数；

　　　　　　　　if(a[i] == 0) dp[i] +=  dp[i+1];

　　　　　　　　if(a[i] == 1) dp[i] +=  (k-1) * 10^(k-2) + [a[i+1]..a[len]] + 1 +dp[i+1];

　　　　　　　　if(a[i] > 1)   dp[i] +=  a[i] * (k-1) * 10^(k-2) + 10^(k-1) + dp[i+1];

　　　　　　　　

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>

#define c_false ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define zero_(x,y) memset(x , y , sizeof(x))
#define zero(x) memset(x , 0 , sizeof(x))
#define MAX(x) memset(x , 0x3f ,sizeof(x))
#define swa(x,y) {LL s;s=x;x=y;y=s;}
using namespace std ;
#define N 50005

const double PI = acos(-1.0);
typedef long long LL ;
char num[20];
LL dp[20];
int len,number;
int pow(int k){ int s =1; for(int i = 0; i<k; i++)s*=10;return s;}
LL cal(){
    zero(dp);
    int base = 1;
    int k;
    for(int i = len-1; i >= 0; i--){
        int s = num[i] - '0';
        k = len - i;
        if(s == 0)
            dp[i] += dp[i+1];
        if(s == 1)
            dp[i] += (k-1)*pow(k-2) + number + 1 + dp[i+1];
        if(s > 1)
            dp[i] += s*(k-1)*pow(k-2) + pow(k-1) +dp[i+1];
        //cout<<i<<"  "<<dp[i]<<endl;
        number += base * s;
        base *= 10;
    }
    return dp[0];
}
int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    //ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
    scanf("%s", num);
    len = strlen(num);
    number = 0;
    printf("%I64d
",cal());
    return 0;
}