P2757 [国家集训队]等差子序列 数学+权值树状数组

题意：

给定一个大小为(n)的排列，问是否存在一组序列(1le p_1le p_2 dotsle p_{len}(3le len)),使得(a_{p_1},a_{p_2},dots,a_{p_len})是等差数列，多组询问

范围&性质：(1le nle 10^5,1le tle 7)

分析：

暴力做法：

一眼看出(O(tn^2))的做法，枚举一个中间数，查询左右是否存在两数使得和值等于(2*a_i)

正解：

首先先考虑我们所取数的范围，对于(a_i)只有([1,a_i*2-1])的值会对答案有影响，它的右端点分两种情况考虑:

1. 若(a_i*2-1le n)，取值范围为([1，a_i*2-1])
2. 若(a_i*2-1>n),取值范围为([2*a_i-n,n])

接下来我们考虑怎么优化暴力，由于是排列，所以对于每一个固定的中间数，能拼成一对（也就是和为(2*a_i)）的数对也是固定的，当其中一对出现在了同一侧时，他们就无法贡献答案可以消掉。也就是说当(a_i)左侧处于取值范围内的数，和值是(2*a_i)的倍数，并且(a_i)右侧处于取值范围内的数，和值为(2*a_i)的倍数时无解。

tip：注意一定要左右都成立才无解

实现方法就是建一颗值域树状数组，先从左向右枚举每个点作为中间数，统计已经出现的数中，在范围内的数和值是多少记作(l[i])，依次加入,在从右向左扫一遍处理出(r[i]),最后整体扫一遍判断是否有解，当(l[i],r[i])中任何一个不是(2*a_i)的倍数时有解

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace zzc
{
	const int maxn = 1e5+5;
	long long c[maxn],a[maxn],l[maxn],r[maxn];
	long long t,n;
	
	long long lowbit(long long x)
	{
		return x&(-x);
	}
	
	void update(long long pos,long long k)
	{
		for(long long i=pos;i<=n;i+=lowbit(i))
		{
			c[i]+=k;
		}
	}
	
	long long query(long long pos)
	{
		long long res=0;
		for(long long i=pos;i;i-=lowbit(i))
		{
			res+=c[i];
		}
		return res;
	}
	
	void work()
	{
		scanf("%lld",&t);
		while(t--)
		{
			memset(c,0,sizeof(c));
			scanf("%lld",&n);
			for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
			for(int i=1;i<=n;i++)
			{
				if(a[i]*2-1<=n) l[i]=query(a[i]*2-1);
				else l[i]=query(n)-query(2*a[i]-n-1);
				update(a[i],a[i]);
			}
			for(int i=n;i>=1;i--)
			{
				if(a[i]*2-1<=n) r[i]=query(a[i]*2-1);
				else r[i]=query(n)-query(a[i]*2-n-1);
				update(a[i],a[i]);
			}
			bool flag=false;
			for(int i=1;i<=n;i++)
			{
				if(l[i]&&r[i]&&l[i]%(2*a[i])&&r[i]%(2*a[i]))
				{
					flag=true;
					printf("Y
");
					break;
				}
			}
			if(!flag) printf("N
");
		}
	}
	
}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
 }