BZOJ 3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树

3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树

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Description

我们的小朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢二叉树。
考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],...,c[n]。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],...,c[n]}中，我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为，一棵带点权的树的权值，是其所有顶点权值的总和。
给出一个整数m，你能对于任意的s(1<=s<=m)计算出权值为s的神犇二叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。
我们只需要知道答案关于998244353(7*17*2^23+1,一个质数)取模后的值。

Input

第一行有2个整数 n,m(1<=n<=10^5; 1<=m<=10^5)。
第二行有n个用空格隔开的互异的整数 c[1],c[2],...,c[n]（1<=c[i]<=10^5)。

Output

输出m行，每行有一个整数。第i行应当含有权值恰为i的神犇二叉树的总数。请输出答案关于998244353(=7*17*2^23+1,一个质数)取模后的结果。

Sample Input

样例一：
2 3
1 2
样例二：
3 10
9 4 3
样例三：
5 10
13 10 6 4 15

Sample Output

样例一：
1
3
9
样例二：
0
0
1
1
0
2
4
2
6
15
样例三：
0
0
0
1
0
1
0
2
0
5

HINT

对于第一个样例，有9个权值恰好为3的神犇二叉树：

Source

VFleaKing & pyx1997 感谢wyl8899提供中文翻译

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据说是道生成函数+多项式计算水题，所以机房里只有我这样的蒟蒻才不会做。

设F(x)中的i次方项系数表示权值和为i的二叉树的个数。（这个就是最终答案函数）

设C(x)中的i次方项系数表示权值i是否出现在可选集合内。（这其实就是C集合的bitset表示）

然后得到$F=CF^2+1$，其中C为枚举根节点权值，两个F分别是左右子树，+1代表可能是一棵空树。

化简得到$CF^2-F+1=0$，根据一元二次方程求根公式，这个多项式方程的根就是$frac{1pmsqrt{1-4C}}{2C}$。

然后嘞，就支持一下多项式开方，多项式求逆好了，其中需要用到NTT和两个倍增算法，然而蒟蒻的我并不会，只好向Monster_Yi大佬和LincHpin大爷虚心请教。

#include <cstdio>
#include <cstring>

template <class T>
inline void read(T &x)
{
    x = 0;
    char c = getchar();
    while (c < 48)c = getchar();
    while (c > 47)x = x*10 + c - 48, c = getchar();
}

template <class T>
inline void swap(T &a, T &b)
{
    T c;
    c = a;
    a = b;
    b = c;
}

const int P = 998244353;
const int D = 499122177;
const int N = 550000;

inline int pow(int a, int b)
{
    int r = 1;
    
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            r = 1LL * r * a % P;
        
        b >>= 1, a = 1LL * a * a % P;
    }
    
    return r;
}

inline void ntt(int *a, int len, int type)
{
    for (int i = 0, t = 0; i < len; ++i)
    {
        if (i > t)swap(a[i], a[t]);
        for (int j = (len >> 1); (t ^= j) < j; j >>= 1);
    }
    
    for (int h = 2; h <= len; h <<= 1)
    {
        int wn = pow(5, (P - 1) / h);
        
        for (int i = 0; i < len; i += h)
        {
            int wk = 1;
            
            for (int j = 0; j < (h >> 1); ++j, wk = 1LL * wk * wn % P)
            {
                int t = 1LL * wk * a[i + j + (h >> 1)] % P;
                
                a[i + j + (h >> 1)] = (a[i + j] - t + P) % P;
                a[i + j] = (a[i + j] + t) % P;
            }
        }
    }
    
    if (type == -1)
    {
        for (int i = 1; i < (len >> 1); ++i)
            swap(a[i], a[len - i]);
        
        int inv = pow(len, P - 2);
        
        for (int i = 0; i < len; ++i)
            a[i] = 1LL * a[i] * inv % P;
    }
}

void inv(int *a, int *b, int len)
{
    if (len == 1)
        b[0] = pow(a[0], P - 2);
    else
    {
        static int t[N];
        
        inv(a, b, len >> 1);
        
        memcpy(t,         a, len * sizeof(int));
        memset(t + len,    0, len * sizeof(int));
        
        ntt(t, len << 1, 1);
        ntt(b, len << 1, 1);
        
        for (int i = 0; i < len << 1; ++i)
            b[i] = 1LL * b[i] * (2 - 1LL * t[i] * b[i] % P + P) % P;
    
        ntt(b, len << 1, -1);
        
        memset(b + len,    0, len * sizeof(int));
    }
}

void sqrt(int *a, int *b, int len)
{
    if (len == 1)
        b[0] = 1;
    else
    {
        static int c[N], d[N];
        
        sqrt(a, b, len >> 1);
        
        memset(d,        0, len * sizeof(int));
        memset(d + len, 0, len * sizeof(int));
        
        inv(b, d, len);
        
        memcpy(c,         a, len * sizeof(int));
        memset(c + len, 0, len * sizeof(int));
        
        ntt(c, len << 1, 1);
        ntt(b, len << 1, 1);
        ntt(d, len << 1, 1);
        
        for (int i = 0; i < len << 1; ++i)
            b[i] = (1LL * c[i] * d[i] % P + b[i]) % P * D % P;
            
        ntt(b, len << 1, -1);
        
        memset(b + len, 0, len * sizeof(int));
    }
}

int n, m, len;

int a[N], b[N];

signed main(void)
{
    read(n);
    read(m);

    a[0] = 1;

    for (len = 1; len <= m; len <<= 1);
    
    for (int i = 1, x; i <= n; ++i)
        if (read(x), x <= m)a[x] = P - 4;
    
    sqrt(a, b, len);
    
    memcpy(a, b, len * sizeof(int)), ++a[0];
    memset(b, 0, len * sizeof(int)), inv(a, b, len);
    memcpy(a, b, len * sizeof(int));
    
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
        printf("%d
", (a[i] << 1) % P);
}

@Author: YouSiki