BZOJ 3707: 圈地

3707: 圈地

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Description

2维平面上有n个木桩，黄学长有一次圈地的机会并得到圈到的土地，为了体现他的高风亮节，他要使他圈到的土地面积尽量小。圈地需要圈一个至少3个点的多边形，多边形的顶点就是一个木桩，圈得的土地就是这个多边形内部的土地。（因为黄学长非常的神，所以他允许圈出的第n点共线，那样面积算0）

Input

第一行一个整数n，表示木桩个数。
接下来n行，每行2个整数表示一个木桩的坐标，坐标两两不同。

Output

仅一行，表示最小圈得的土地面积，保留2位小数。

Sample Input

3
0 0
0 1
1 0

Sample Output

0.50

HINT

对于100%的数据，n<=1000。

Source

 

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很喵的一道题，据说写个$O(N^{3})$的大暴力就能水过去,黄学长也介绍了一个随机化算法，但出题人还是想了个比较可以接受的正解的。

简单的说就是给定平面上n个点，求这n个点组成三角形的最小面积。

如果分别枚举三个点的话是$O(n^{3})$的，时间无法承受。

如果枚举了两个点a,b。设它们间的距离是L。如果以点a,b所在直线为y轴的话，与其他点所组成的三角形的面积$S=L*|x|/2$，x是其他点在这个坐标系中的横坐标。可以看出面积最小的就是离这个坐标系y轴最近的一个点。如果我们能够快速的得知最近的点的话，就可以将复杂度降低到$O(n^{2})$。

把这些点两两之间求出一条直线，记录这条直线是哪两个点取到的，记录这条直线的斜率k。然后按照k排序，我们可以依次按照k递增连续变化的顺序处理这些直线。

首先将这些点按x坐标排序，相当于按x=0直线排序的情况，考虑由两个相邻的斜率k1变到k2时，这个序列的改变只有k1直线的两个点的顺序交换了下，其它点之间的顺序都没变。在枚举直线时，交换两点维护序列即可。

—— ZRT学长

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int mxn = 1005;

int n, m, p;

double ans = 1e200;

struct Pair
{
    double x, y;
    
    inline Pair(void) {};
    inline Pair(double a, double b)
        : x(a), y(b) {};
}P[mxn];

inline Pair operator - (const Pair &a, const Pair &b)
{
    return Pair(a.x - b.x, a.y - b.y);
}

struct Line
{
    int a, b;
    double k;
    
    inline void set(int i, int j)
    {
        a = i;
        b = j;
        
        k = (P[i].y - P[j].y) / (P[i].x - P[j].x);
    }
}L[mxn * mxn];

inline bool cmpP(const Pair &a, const Pair &b)
{
    if (a.x != b.x)
        return a.x < b.x;
    else
        return a.y < b.y;
}

inline bool cmpL(const Line &a, const Line &b)
{
    return a.k < b.k;
}

inline double cross(const Pair &a, const Pair &b)
{
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

int ps[mxn], rk[mxn];

signed main(void)
{
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> P[i].x >> P[i].y;
        
    sort(P, P + n, cmpP);
    
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < i; ++j)
            L[m++].set(i, j);
    
    sort(L, L + m, cmpL);
    
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        rk[i] = ps[i] = i;
    
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        int a = L[i].a, b = L[i].b;
        
        if (ps[a] > ps[b])swap(a, b);
        
        if (ps[a] > 1 - 1)ans = min(ans, fabs(cross(P[a] - P[b], P[rk[ps[a] - 1]] - P[b])));
        if (ps[b] < n - 1)ans = min(ans, fabs(cross(P[a] - P[b], P[rk[ps[b] + 1]] - P[a])));
        
        swap(ps[a], ps[b]), swap(rk[ps[a]], rk[ps[b]]);
    }
    
    cout << fixed << setprecision(2) << ans / 2.0 << endl;
}

@Author: YouSiki