BZOJ 1041: [HAOI2008]圆上的整点

1041: [HAOI2008]圆上的整点

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Description

　　求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

　　只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

　　整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

 

Source

 

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一道几何数学好题。

根据圆的方程，$X^{2}+Y^{2}=R^{2}$

可以变形得到，$Y^{2}=R^{2}-X^{2}$

根据平方差公式，$Y^{2}=(R+X)*(R-X)$

左右取算数平方根，$Y= sqrt{(R+X)*(R-X)}$

设$d=gcd(R+X,R-X)$，即$d$为$R+X$和$R-X$的最大公约数

设$A=frac{R-X}{d}$，$B=frac{R+X}{d}$，那么显然有$A$和$B$互质

那么$Y=d*sqrt{A}*sqrt{B}$，为了让$Y$为整数，显然需要$sqrt{A}$和$sqrt{B}$为整数

设$a=sqrt{A}$，$b=sqrt{B}$，有$a$和$b$不等且互质，$a lt b$

$A+B=a^{2}+b^{2}=frac{R+X}{d}+frac{R-X}{d}=frac{2R}{d}$

那么$d$需要是$2R$的约数，这个可以$sqrt{2R}$的枚举

对于一个$d$，再枚举$a$，注意$2a^{2} lt a^{2}+b^{2}=frac{2R}{d}$

所以$a$只需要在$sqrt{frac{R}{d}}$的范围内枚举

注意最后加上坐标轴上的4个整点

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long lnt;

using namespace std;

lnt gcd(lnt a, lnt b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

signed main(void)
{
    lnt R, ans = 0; scanf("%lld", &R);
    
    for (lnt d = 1; d*d <= (R << 1); ++d)
        if ((R << 1) % d == 0)
        {
            for (lnt a = 1; a*a <= R/d; ++a)
            {
                double b = sqrt((2*R) / d - a*a);
                lnt bb = floor(b);
                if (b != bb)
                    continue;
                if (gcd(a, bb) != 1)
                    continue;
                if (a != b)
                    ++ans;
            }
            
            if (d*d != 2*R)
            for (lnt a = 1; a*a <= d/2; ++a)
            {
                double b = sqrt(d - a*a);
                lnt bb = floor(b);
                if (b != bb)
                    continue;
                if (gcd(a, bb) != 1)
                    continue;
                if (a != b)
                    ++ans;
            }
        }
        
    printf("%lld
", ans*4 + 4);
}

@Author: YouSiki