由k个高斯模型加权组成，α是各高斯分布的权重，Θ是参数。对GMM模型的参数估计，就要用EM算法。更一般的讲，EM算法适用于带有隐变量的概率模型的估计，即不同的高斯分布所对应的类别变量。
为何不能使用极大似然估计，如果直接使用极大似然估计，没有考虑数据中的隐变量，很明显是不合适的。
那我们将隐变量考虑进去，最大化似然函数：
对这个似然函数通过求导的方式明显是很困难的，我们的策略是建立l(θ)的下界，并且求该下界的最大值，重复这个过程，知道收敛到局部最大值。
我们引入一个Q(z)，即隐变量z的分布函数
上述不等式成立的条件是使用了Jensen不等式，log是凹函数，满足E(f(x))<= f(E(x))，当且仅当X是常数时，等式成立。
接下来我们我们直接优化最后那个等式是否就可以了呢？答案是不行的，我们必须保证下界是紧的，即等号成立。等式成立的条件是随机变量是常数，也就是
又因为Q(z)是z的分布函数，所以：
可以求出C值的表达式：代入前面第二个式子，得到：
得到Q(z)之后，我们可以将Q(z)代入含θ的似然函数，求出似然函数的下界（即最大化似然函数），如此反复迭代计算，便可以得到似然函数的局部极大值，那么似然函数最大值对应的θ值就是我们要估计的参数值了。
EM算法：
首先，初始化参数θ
（1）E-Step：根据参数θ计算每个样本属于zi的概率，即这个身高来自四川或东北的概率，这个概率就是Q
（2）M-Step：根据计算得到的Q，求出含有θ的似然函数的下界并最大化它，得到新的参数θ
EM算法求解GMM问题
随机挑选10000名志愿者，测量他们的身高，样本中有男性和女性，身高服从高斯分布，分别为N(μ1, σ1), N(μ2, σ2)
假设取各个高斯分布的概率是φ，如何估计μ，σ，φ呢？
μ，σ，φ是EM算法中的θ
E-step
M-step
将Q(z)，μ，σ，φ入似然函数，得到：
此时，可以使用Jensen不等式，求最紧的下界，反复迭代得到参数值，但是如果直接求导可以得到参数值，无疑是是更加简单的。对于GMM，我们可以直接求导，不需要使用Jensen不等式反复迭代：
对均值求偏导：
另上式等于0，解得均值为：
然后对方差求偏导，并使得等式为0，得到方差为：
多项分布参数φ的求解：
将似然函数的常数项均删除，得到：
由于多项式分布的概率和为1，建立拉格朗日方程：
对φ求偏导，使等式为0，得到：
至此，参数μ，σ，φ均已经求出来了