逆元小结

乘法逆元小结

乘法逆元：在模意义下 乘法和加法都是合法的，但除法并不合法，为了解决除法的问题，引进了乘法逆元 inv(a)，记作 a^-1  ,即像满足 a*inv(a) ≡ 1 (mod p)这样的 a 的倒数的数 inv(a) 的存在。

处理逆元的几种方法：

1、暴力求解

复杂度：O( p ) p 为 模。

假设要求 x 在 mod p 情况下的逆元，暴力枚举 p-1 个数，满足条件：x * num ≡ 1 （mod p）；

2、费马小定理 && 欧拉定理

复杂度：O(log2N)

费马小定理：a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 【前提 p为质数】

可得 inv(a) = a^（p-2) ；

欧拉定理：a^{phi( p )} ≡ 1 (mod p) 【前提 p不为质数】当然 p 不为质数的情况下不一定每一个数都存在逆元。

可得 inv(a) = a^phi(p)-1 ；

即根据 p 的情况，选用快速幂求解。

LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){            //a的b次方结果模p 
    LL ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
LL Fermat(LL a, LL p){                //费马求a关于p的逆元 
        return pow_mod(a, p-2, p);
}

 3、拓展欧几里得（by 《挑战》）

由于方程 a * inv(a) ≡ 1 (mod p) 等价于存在一个整数 k 使得 a*inv(a) = 1+k*p;

即问题转换成 求解满足 a* inv(a) - k*p = 1 的 inv(a) 的问题，可以运用 extgcd （拓展欧几里得）求解。

同时！！！ 如果 gcd(a, p) != 1 则逆元不存在。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 
{  
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;  
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;
    return d;
}
int mod_inverse(int a,int mod)//求a关于mod的逆元
{
    int x,y;
    exgcd(a,mod,x,y);
    return (x%mod+mod)%mod;
} 

4、万能公式法

以上几种方法都存在局限性，那么怎么办呢？

在 a | b 的情况下： a/b mod p = a mod (bp) / b 

5、神奇线性大法预处理 1~N 的逆元

参考：http://blog.miskcoo.com/2014/09/linear-find-all-invert

模板:

inv[1] = 1;

inv [ i ] = (mod - mod/i)*inv[ mod%i ] %mod; 

6、巧妙预处理阶乘逆元

在HDU多校一道莫队的题看到的技巧，当时就ORZ.....

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6333

首先快速幂求出 (maxn-1) ! 在mod的意义下的逆元；

逆推： inv[ i ] = (inv[ i + 1]*(i+1))%mod;

void init()
{
    rev2 = q_pow(2, MOD-2);                     // 2的逆元
    fac[0] = fac[1] = 1;
    for(LL i = 2; i < MAXN; i++){              //预处理阶乘
        fac[i] = fac[i-1]*i%MOD;
    }

    inv[MAXN-1] = q_pow(fac[MAXN-1], MOD-2);    //逆推预处理阶乘的逆元
    for(int i = MAXN-2; i >= 0; i--){
        inv[i] = inv[i+1]*(i+1)%MOD;
    }
}

void Init()                                 //预处理排列数和逆元
{
    fac[0] = Inv[0] = fac[1] = Inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) Inv[i] = (mod-mod/i)*Inv[mod%i]%mod;
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) Inv[i] = Inv[i]*Inv[i-1]%mod;
}