POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT（高斯消元）

题目链接：http://poj.org/problem?id=1222

题意：就是给你一个初始矩阵（里面每个元素代表一个开关），改变一个开关就可以使得在其上、下、左、右的开关的状态都改变。问若使得所有开关均关闭（开关开为1，关为0），则需要改变哪些开关，并给出要改变的开关的矩阵图，里面的元素为1的表示要改变的开关，为0的表示不要变的开关。

思路：一共30盏灯，每盏灯的方程为   x(i*6+j)+x((i-1)*6+j)+x((i+1)*6+j)+x(i*6+j-1)+x(i*6+j+1)=b(mod 2)。我们知道每盏灯最后状态有本身以及上下左右的5盏灯决定，5盏灯的异或值就是最终的状态，只要求解这个模2方程即可。

code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 40;
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
int equ, var;
int a[MAXN][MAXN]; //增广矩阵
int x[MAXN]; //解集
int free_x[MAXN];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
int free_num;//自由变元的个数

//返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
int Gauss() {
    int max_r, col, k;
    free_num = 0;
    for (k = 0, col = 0; k <equ&& col <var; k++, col++) {
        max_r = k;
        for (int i = k + 1; i<equ; i++) {
            if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
                max_r = i;
        }
        if (a[max_r][col] == 0) {
            k--;
            free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元
            continue;
        }
        if (max_r != k) {
            for (int j = col; j < var + 1; j++)
                swap(a[k][j], a[max_r][j]);
        }
        for (int i = k + 1; i<equ; i++) {
            if (a[i][col] != 0) {
                for (int j = col; j < var + 1; j++)
                    a[i][j] ^= a[k][j];
            }
        }
    }
    for (int i = k; i<equ; i++)
    if (a[i][col] != 0)
        return -1;//无解
    if (k <var) return var - k;//自由变元个数
    //唯一解，回代
    for (int i = var - 1; i >= 0; i--) {
        x[i] = a[i][var];
        for (int j = i + 1; j <var; j++)
            x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
    }
    return 0;
}

int t[MAXN][MAXN];
int dir[5][2] = { { 0, 0 }, { 1, 0 }, { 0, 1 }, { -1, 0 }, { 0, -1 } };

void init() {
    memset(t, 0, sizeof(t));
    for (int i = 0; i < 5; ++i) {
        for (int j = 0; j < 6; ++j) {
            for (int k = 0; k < 5; ++k) {
                int a = i + dir[k][0];
                int b = j + dir[k][1];
                if (a >= 0 && b >= 0 && a < 5 && b < 6) {
                    t[6 * i + j][6 * a + b] = 1;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for (int cas = 1; cas <= T; ++cas) {
        memcpy(a, t, sizeof(a));
        for (int i = 0; i < 30; ++i) {
            scanf("%d", &a[i][30]);
        }
        printf("PUZZLE #%d
", cas);
        equ = 30;
        var = 30;
        if (Gauss() == 0) {
            for (int i = 0; i < 30; ++i) {
                if (i % 6 == 5) {
                    printf("%d
", x[i]);
                }
                else {
                    printf("%d ", x[i]);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}