这里写的只是最常见最普通的 Tauber 定理，写这个纯粹是因为常庚哲，史济怀书上的那个证明（定理 10.17）太不符合审美了。
（Tauber）若 $lim_{r o 1^{-}} sum c_n r^n = sigma$ 且 $c_n = o(frac{1}{n}) \,, $ 则 $sum c_n = sigma \,.$
分析：想法就是令 $r = 1 - frac{1}{N} \,.$ 作估计 [ left| sum_{n=1}^N c_n - sum_{n=1}^N c_n r^n ight| leq sum_{n=1}^N |c_n| (1- (1-frac{1}{N})^n) leq sum_{n=1}^N |c_n| frac{n}{N} \,, ] 以及 [ left|sum_{n=1}^{infty} c_n r^n - sum_{n=1}^N c_n r^n ight| leq sum_{n>N} |c_n| (1-frac{1}{N})^n leq sum_{n>N} frac{n c_n}{N} (1-frac{1}{N})^n leq sum_{n>N} frac{epsilon}{N} (1-frac{1}{N})^n = epsilon (1-frac{1}{N})^{N+1} \,. ] 由 $n c_n o 0$ 不难得知其前 $N$ 项和的算术平均也趋于零，而 $(1-frac{1}{N})^{N+1} o e^{-1} \,.$ 综合这两个估计，命题得证。