讲两个遇到的题。
1. $fleft( x ight)$ 在 $left[ {0,infty } ight)$ 上一致连续，$forall x > 0,mathop {lim }limits_{n o infty } fleft( {x + n} ight) = 0$ ，证明：$mathop {lim }limits_{x o infty } fleft( x ight) = 0$
2. $fleft( x ight)$ 在 $left[ {0,infty } ight)$ 上连续，$forall x > 0,mathop {lim }limits_{n o infty } fleft( {nx} ight) = 0$ ，证明：$mathop {lim }limits_{x o infty } fleft( x ight) = 0$
作为条件的两个极限过程都是逐点的，而要证明的东西是全局的。先看第一个，好歹一致连续的条件强一些。
困难之处在于虽然对每一个 $x>0$ ，可以找到一个 ${N_varepsilon }left( x ight)$ 使得 $left| {fleft( {x + n} ight)} ight| < varepsilon Leftarrow n > {N_varepsilon }left( x ight)$
但是这里的 大N 取决于具体的 x ，是否能有一个一致的 ${N_varepsilon } = mathop {sup }limits_{0 < x leqslant 1} {N_varepsilon }left( x ight)$ ，也即右侧的上确界是否存在，并不能直接看出。
想要从逐点条件变为局部条件甚至全局条件，这个问题总会是一个需要跨过去的坎，这时候就希望有一个类似于有限覆盖定理的东西能帮我们绕过去。
（逐点对应一个开集，全体开集若能覆盖一个紧集，则有限个开集可以覆盖住这个紧集，这样问题就集中到这有限个点了，当然这也就要求考虑的空间要有紧性）
对这个问题要用上一致连续的条件，实际上问题可以放到 $left[ {0,1} ight)$ 上看，因为 x 的整数部分可以归结为 x+n 的 n 里去，而 x 的小数部分虽然是无穷多个取值，由一致连续性，可以对 $left[ {0,1} ight)$ 足够多的等分用分点来逼近，也即考虑 k 等分 ${x_i} = frac{i}{k}left( {i = 1,2,...,k} ight)$ 使得
[left| {x - left( {left[ x ight] + {x_i}} ight)} ight| = left| {left{ x ight} - {x_i}} ight| < frac{1}{k} < delta Rightarrow left| {fleft( x ight) - fleft( {left[ x ight] + {x_i}} ight)} ight| < varepsilon ]
从而
[left| {fleft( x ight)} ight| leqslant left| {fleft( x ight) - fleft( {left[ x ight] + {x_i}} ight)} ight| + left| {fleft( {left[ x ight] + {x_i}} ight)} ight|]
因为分点是有限个，所以第二项正可以用上点态条件，对分点 ${{x_i}}$ 找到的有限个 大N 取最大的即可：$left| {fleft( {left[ x ight] + {x_i}} ight)} ight| < varepsilon Leftarrow left[ x ight] > mathop {max }limits_{1 leqslant i leqslant k} Nleft( {{x_i}} ight)$
再来看第二个，把条件改写成集合的语言，也即 $forall varepsilon > 0$ [igcuplimits_{N = 1}^infty {igcaplimits_{n = N}^infty {left{ {x > 0:left| {fleft( {nx} ight)} ight| leqslant varepsilon } ight}} } = left( {0,infty } ight)]
注意到左侧为闭集升列的可数并，而右侧是全体正实数，由 Baire 纲定理，右侧有内点，则左侧至少有一个闭集内有内点，从而就有闭子区间 [left[ {a,b} ight] subset igcaplimits_{n = {N_0}}^infty {left{ {x > 0:left| {fleft( {nx} ight)} ight| leqslant varepsilon } ight}} Leftrightarrow x in igcuplimits_{n = {N_0}}^infty {left[ {na,nb} ight]} ,left| {fleft( x ight)} ight| leqslant varepsilon ]
借助纲定理我们把逐点条件变成了局部条件，接下来只需注意这些闭区间 $igcuplimits_{n = {N_0}}^infty {left[ {na,nb} ight]}$ 当 n 充分大时一定会混叠即可，事实上，若想混叠则需 $left( {n + 1} ight)a < nb Leftrightarrow 1 + frac{1}{n} < frac{b}{a}$ 右边严格大于1，而左边递减趋于1，一定在某个 N1 之后对所有的 n 成立，也即发生混叠。
我们来对比一下两个题，第一个是用的一致连续性，对 $left[ x ight] leqslant x < left[ x ight] + 1$ 内用有限个等分点去逼近；第二个是用的 Baire 纲定理，把逐点条件先变成对一族闭区间成立，然后通过闭区间的混叠来变为全局条件。最有意思的地方来了，如果要想把第二题的方法用到第一题，试图削弱一致连续条件，会发现行不通，第一题对应的闭区间族 $igcuplimits_{n = {N_0}}^infty {left[ {a + n,b + n} ight]}$ 是不会混叠的；实际上，考虑让函数在$left[ {n,n + 1} ight]$上的支撑部分为一个不断移动，范围越来越狭小从而彼此经整数平移后不相交的波包。由于波包彼此不交，也即
[left{ {n le x le n + 1:fleft( x ight) e 0} ight} subset {B_{{r_n}}}left( {{a_n}} ight)][{B_{{r_i}}}left( {{a_i} - i} ight) cap {B_{{r_j}}}left( {{a_j} - j} ight) = emptyset ,i e j]
对 $forall x > 0$，$left{ {fleft( {x + n} ight)} ight}_{n = 1}^infty$ 至多只有一项非零，从而条件满足，但只要让波的幅度不随着 n 衰减到 0（这也就必然不是一致连续的），结论就不满足，所以第一题的一致连续条件是无法削弱成连续条件的。
最后补充一道长得同样比较像的简单实变题：考虑 $fin L^1 (0,infty) \,,$ 证明 $lim_{n oinfty} f(x+n)=0$ 对几乎处处的 $x$ 成立.
提示：考虑集合 [{ x>0 : limsup_{n o infty} |f(x+n)|>0 } = igcup_{k ,\, l geq 1} { l-1<x leq l : limsup_{n o infty} |f(x+n)| geq frac{1}{k} }] 即可.