【洛谷P3811】[模板]乘法逆元

乘法逆元

题目链接

求逆元的三种方式：

1.扩欧

i*x≡1 (mod p)

可以化为：x*i+y*p=1

exgcd求x即可

inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1; y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
}

2.快速幂

费马小定理：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

a*a^(p-2)≡1(mod p)

x=a^(p-2) 即为逆元

inline int qpow(int x,int k){
    int s=1;
    while(k){
        if(k&1) s=s*x%p;
        k>>=1;
        x=x*x%p;
    }
    return s;
}

3.线性递推：

inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M;

证明：

设t=M/i,k=M mod i

t*i+k≡0(mod M)

t*i≡-k(mod M)

两边同时乘以k和i的逆元：t*inv[k]≡-inv[i](mod M)

inv[i]≡-t*inv[k](mod M)

将t和k用M和i表示：

inv[i]≡(-M/i)*inv[M mod i](mod M)

 

inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)
     inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;