【BZOJ4475】 [Jsoi2015]子集选取

题目描述

数据范围

(1leq N,K leq 10^9)

(solution)

集合S中每个元素互不影响,不妨依次考虑其中一个元素在三角形中的出现情况

问题转化为一个(0/1)的三角形({A_{i,j}})，用(0)表示选了，(1)表示没选，那么如果(A_{i,j})为(1)，则(A_{i,j})左边和上边都是(1)

考虑(n)比较小的情况，可以DP

(f_i)表示一个(i*i)的三角形的方案数

对于(f_i)，第(i)行一定是一段(1)和一段(0)拼起来，枚举(1)的长度(j)，前(j)列的元素都必须选(1),其他列除去第(i)行构成一个长为((i-j-1))的三角形，填法为(f_{i-j-1})种

最后加上是第(i)行全选(1)的情况，只有(1)种

(f_i=1+sum_{j=0}^{i-1}f_{i-j-1}=1+sum_{j=0}^{i-1}f_j)

(f_0=1)

不妨令(S_i=sum_{j=0}^if_j)

原式(f_i=1+S_{i-1})即(S_{i-1}=f_i-1)

则有

(S_i-S_{i-1}=(f_{i+1}-1)-(f_i-1))

即 (f_i=f_{i+1}-f_{i})

(f_{i+1}=2*f_i) 且(f_0=1)

得(f_n=2^n)

(ans={f_n}^k=2^{nk})

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;

const int MOD=1000000007;

int n,k;

inline int qpow(int x,int k){
	int s=1;
	while(k){
		if(k&1) s=s*x%MOD;
		k>>=1;
		x=x*x%MOD;
	}
	return s;
}

signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	printf("%lld
",qpow(2,n*k));
	return 0;
}