算法导论1.排序算法

排序算法是最基础的一类算法。主要排序算法包括选择排序、插入排序、冒泡排序、合并排序、堆排序和快速排序。把这些排序算法全部实现一边，再把《算法导论》对应章节后面的习题做一遍，确实是系统学习算法的一个不错的开端。

选择排序

选择排序的想法很简单，把需要排序的数组看成一堆扑克牌：先查一遍，抽出最小的作为第一个张；在剩下的牌堆里再查一遍，选出最小的作为第二个元素……重复直到牌堆耗尽。想法简单的其代价就是运行时间为Θ(n×n)：在查询A、2或3的时候，都要反复地比较其与K、Q的大小，直觉告诉我这样做没有意义。

void selectionSort(int* x, int length){
    for(int i=0;i<length-1;i++){
        int minValue = INT_MAX;
        int minPosition = 0;
        for(int j=i;j<length;j++){
            if(x[j]<=minValue){
                minValue=x[j];
                minPosition=j;
            }
        }
        int temp = x[minPosition];
        x[minPosition]=x[i];
        x[i]=temp;
    }
}

插入排序

插入排序的想法类似于从牌堆中摸牌，并插入到手中已经排序过的牌中。在最外层以i为自变量的循环中，0~i-1张牌就是手中已排序的牌（循环开始时就是第一张牌x[0]），i~length-1张牌就是牌堆，每次循环将第i张牌（也就是牌堆顶部的第一张牌）插入到牌堆中。因为手中的牌已经排好序，所以每次插入都会移动所有比这张待插入的牌大的手牌。这个排序算法的运行时间也很高，为Θ(n×n)。

void insertionSort(int* x, int length){
    for (int i=1;i<length;i++){
        for (int j=i;j>0;j--){
            if(x[j]<x[j-1]){
                int temp = x[j];
                x[j]=x[j-1];
                x[j-1]=temp;
            }
        }
    }
}

合并排序

合并算法是一种递归的算法。假设牌堆已经分成两堆，每一堆都已经排好序，比如一堆是{A,3,4,7,J,K}，另一堆是{2,5,6,8,9,10,Q}，把这两堆合并成一个牌堆的方法很简单，只要依次比较两个牌堆顶部的牌，选择较小的一张加入已排序的牌堆，直到两个牌堆都空了，这个工作的时间代价仅为Θ(n)。如何获得已排序的两个牌堆呢？答案是先直接均分为两堆，再递归地调用自身去对着两堆合并排序，直到问题的规模足够小，比如只剩1张或2张牌。好在将问题分解到足够小需要的递归次数是lgn而不是n，因此该算法的运行时间为Θ(n×lgn)。不过合并排序需要额外的空间开销，换言之它不是一种原地排序算法，他的空间开销为Θ(n×lgn)，而原地排序算法仅仅为Θ(n)。

void mergeSort(int* x, int length){
    if(length==0 || length==1){
        return;
    }
    int mid = (length-1)/2;
    int child1Size = mid+1;
    int* child1 = new int[child1Size];
    int child2Size = length-mid-1;
    int* child2 = new int[child2Size];
    for(int i=0;i<mid+1;i++){
        child1[i]=x[i];
    }
    for(int i=mid+1;i<length;i++){
        child2[i-mid-1]=x[i];
    }
    mergeSort(child1,child1Size);
    mergeSort(child2,child2Size);
    {    
        int i=0;int j=0;int k=0;
        while(k<length){
            if(i==child1Size){
                x[k]=child2[j];
                j++;k++;continue;
            }
            if (j==child2Size){
                x[k]=child1[i];
                i++;k++;continue;
            }
            if(child1[i]<=child2[j]){
                x[k]=child1[i];
                i++;k++;continue;
            }
            if(child2[j]<child1[i]){
                x[k]=child2[j];
                j++;k++;continue;
            }
        }
    }
    return;
}

冒泡排序

冒泡排序是一个很简单的原地排序方法：从数组的最后一个元素开始（这个元素就是当前的“泡”）向前遍历，如果前一个元素比当前的“泡”小，那么当前的“泡”就变成了前一个元素；如果前一个元素比当前的“泡”大，那么交换“泡”和该元素的位置（这个“泡”冒上去了）。每一次冒泡到最前面一个元素，都能保证选择了最小的“泡”。虽然该算法运行时间为Θ(n×n)，但是在冒前面的“泡”的过程中，后面的相对较小的元素也一定程度地冒上来了（换言之，这次冒泡并不是“无用功”），使得冒比较大的“泡”时经常只需要检查一下而不用作交换，所以常数因子比较小。

void bubbleSort(int* x, int length)
{
    for (int i=0;i<length;i++){
        for (int j=length-1;j>0;j--){
            if(x[j]<x[j-1]){
                int temp = x[j];
                x[j]=x[j-1];
                x[j-1]=temp;
            }
        }
    }
}

堆排序

堆排序是一种“漂亮”的原地排序方法，其运行时间为Θ(n×lgn)。熟悉了最大堆的特性，堆排序的思路就非常简单了：最大堆的根节点最大，将根节点和堆中的最后一个元素互换位置，并且将堆的长度减去1；此时堆已经不是最大堆，但是根元素的两个子堆仍然是最大堆，将这种堆转化为最大堆的过程heapMax只需要Θ(lgn)时间，那么就转化为最大堆再取次大的元素。由一个杂乱数组建成一个最大堆的过程heapMaxBuild也需要Θ(n×lgn)时间，这不影响总的运行时间量级。

void heapMax(int* xInput, int xSize, int i){
    int l=(i+1)*2-1;
    int r=(i+1)*2;
    if(i>=xSize){
        return;
    }
    if(l>=xSize && r>=xSize){
        return;
    }
    if(xInput[i]>=xInput[l] && (r>=xSize ? true : (xInput[i]>=xInput[r]))){
        return;
    }
    int maxI=(r>=xSize ? l : (xInput[l]>xInput[r]?l:r));
    int temp = xInput[i];
    xInput[i]=xInput[maxI];
    xInput[maxI]=temp;
    heapMax(xInput, xSize, maxI);
}
void heapMaxBuild(int* x, int length){
    for(int i=length/2+1;i>=1;i--){
        heapMax(x, length, i-1);
    }
}
void heapSort(int* x, int length){
    heapMaxBuild(x, length);
    for (int i=length;i>=2;i--)    {
        int temp = x[i-1];
        x[i-1]=x[0];
        x[0]=temp;
        heapMax(x, i-1, 0);
    }
}

快速排序

快速排序的运行时间为Θ(n×lgn)，它是一种原地排序算法。取最后一个元素作为基准，遍历一次数组，将小于基准的元素排在前面，大于基准的元素排在后面，而不在乎同小于或同大于基准的元素之间的顺序。一次遍历之后，将最后一个元素和大于基准的元素的第一个交换位置，则基准前方的都是小于基准的元素，后方都是大于基准的元素，再递归调用自身，对同小于或同大于基准的元素进行快速排序。

int partition(int* x, int p, int r){
    int mid = x[r];
    int i = p;
    for (int j = p; j <= r - 1; j++){
        if(x[j] <= mid){
            int tmp = x[i];
            x[i] = x[j];
            x[j] = tmp;
            i++;
        }
    }
    int tmp = x[i];
    x[i]=x[r];
    x[r]=tmp;
    return i;
}
void quickSort(int* x, int p, int r){
    if(p < r){
        int q = partition(x, p, r);
        quickSort(x, p, q-1);
        quickSort(x, q+1, r);
    }
}