参考《算法设计与分析》一书讲解。ref：http://blog.csdn.net/zshrong/article/details/5380971
对于其失败的概率之小的论证，书中有详细的说明。
给定两个字符串：X=x1,…,xn，Y=y1,…,ym，看Y是否为X的子串？（即Y是否为X中的一段。）（此问题还可用Rabin-Karp算法、Boyer-Moore算法等）
一、随机算法Monte Carlo（用brute-force 思想）
记X(j)=xjxj＋1…xj+m-1（从X的第j位开始、长度与Y一样的子串），从起始位置j=1开始到j=n-m+1，我们不去逐一比较X(j)与Y，而仅逐一比较X(j)的指纹Ip（X(j)）与Y的指纹Ip（Y）。
由于Ip（X(j+1)）可以很方便地根据Ip（X(j)）计算出来，故算法可以很快完成。
不失一般性,设xi(1≤i≤n) 和yj(1≤j≤m)∈{0,1}，即X, Y都是0-1串。
Ip(X(j+1)) = (xj+1…xj+m)(mod p)
=(2(xj+1…xj+m-1)+xj+m)(mod p)
=(2(xj+1…xj+m-1)+2mxj-2mxj+xj+m)(mod p)
=(2(xjxj+1…xj+m-1)-2mxj+xj+m)(mod p)
（∵(xy+z)(mod p)=(x(y mod p)+z)(mod p)）
=(2 ( (xjxj+1…xj+m-1)mod p )-2mxj+xj+m)(mod p)
=(2*Ip(X(j))-xj+xj+m)(mod p) (﹡)
∴Ip(X(j+1))可以利用Ip(X(j))及(﹡)式计算出来。
算法
1、 随机取一个小于M的素数p，置j←1；
2、 计算Ip(Y)、Ip(X(1))及Wp(=2m mod p)；
3、 While j≤n-m+1 do
{if Ip(X(j))=Ip(Y) then return j /﹡X(j)极有可能等于Y﹡/
else{使用(﹡)式计算出Ip(X(j+1))；j增1}
}
4、 return 0; /﹡X肯定没有子串等于Y﹡/
时间复杂度：
Y、X(1)、2m均只有m位（二进制数），故计算Ip(Y)、Ip(X(1))及2m mod p的时间不超过O(m)次运算。
Ip(X(j+1))的计算：由于2*Ip(X(j))只需要在Ip(X(j))后加个0；当xj为1时，第二部分Wp*xj就是Wp，当xj为0时该部分为0；xj+m或为0或为1，然后进行加减法（O(1)时间）就可得到2*Ip(X(j))-xj+xj+m。但此式还要对p取模。
由于0≤2*Ip(X(j))≤2p-2，0≤xj≤p-1，0≤xj+m≤1，因此2*Ip(X(j))-xj+xj+m的值在[-(p-1), 2p-1]之间。故实际计算时，若上式是负值，则加上p后即得Ip(X(j+1))；
若为非负，则看其是否小于p，小于p则已得Ip(X(j+1))；
若大于等于p，则减去p后即得Ip(X(j+1))。
故Ip(X(j+1))的计算只需用O(1)时间。
由于循环最多执行n-m+1次，故这部分的时间复杂度为O(n)。于是，总的时间复杂性为O(m+n)。
失败的概率：当Y≠X(j)，但Ip(Y)=Ip(X(j))时产生失败。Ip(Y)=Ip(X(j)) 当且仅当p能整除|Y-X(j)|。当p能整除|Y-X(j)|时，p当然也能整除|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(j)|…|Y-X(n-m+1)|（∵p素数，反之也成立），由于|Y-X(j)|不超过m个二进制位，
∴|Y-X(j)|<2m。
∴|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(n-m+1)| < (2m)n-m+1≤2mn。
由数论定理2(如果a＜2n，则能够整除a的素数个数不超过p(n)个），能整除|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(n-m+1)|的素数个数不超过p(mn)个。
于是Pr[failure]=(Y不含在X中、但p(p＜M）能够整除|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(j)|…|Y-X(n-m+1)|的素数的个数）/小于M的素数的个数
≤p(mn)/ p(M) = p(mn)/ p(2mn2) （取M=2mn2）
≈(mn/loge(mn))/(2mn2/loge(2mn2))= loge(2mn2)/2n loge(mn)
(m≥2时有)≤loge((mn)2)/2n loge(mn)=1/n
即失败的概率只与X的长度有关，与Y的长度无关。
当m=n时，问题退化为判定两个字符串是否相等的问题。
二、Las Vegas算法：
当 Ip(Y)=Ip(X(j))时，不直接return j，而去比较Y和X(j), 即在return j之前加一个判断看Y和X(j)是否相等，相等则 return j ，否则继续执行循环。这样，如果有子串X(j)与Y相匹配，该算法总能给出正确的位置即算法出错的概率为0）。
∵在最坏情况下算法执行O(mn)时间，而p能整除|I(Y)-I(X(j))|概率的不超过，故
算法的时间复杂性的期望值不超过。