红黑树——原理

1.性质

　　红黑树是一种二叉查找树，但是每个节点增加一个表示结点颜色（红或黑）的字段，并且满足一下条件：

• 每个节点或是红的，或是黑的
• 根节点是黑的
• 每个叶结点（NIL）是黑的
• 如果一个节点是红的，则它的两个儿子都是黑的
• 对每个节点，从该结点到其子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点

　　为方便处理边界条件，我们采用一个哨兵来表示NIL，如果某节点没有一个子结点或父结点，则该结点的相应指针指向NIL。

　　一棵有n个内结点（不包括NIL）的红黑树高度之多为2lg(n+1)。

2.旋转

　　在红黑树上执行插入或删除操作时，结果都可能违反红黑树的性质，我们需要改变树的指针结构来保持红黑树的性质。旋转是修正过程中会用到的操作，分为左旋和右旋，这里只介绍左旋操作，右旋刚好与左旋操作相反。下面是旋转的示意图

　　

LEFT-ROTATE(T, x)
    y ← right[x]
    right[x] ← left[x]

    if left[y] != nil[T]
        p[left[y]] ← x

    p[y] ← p[x]

    if p[x] = nil[T]
        root[T] ← y
    else if x = left[p[x]]
        left[p[x]] ← y
    else right[p[x]] ← y
    
    left[y] ← x
    p[x] ← y

3.插入

　　插入操作与普通二叉树的插入操作接近，将新插入节点设置为红色（尽可能少违反二叉树性质），并在最后增加RB-INSERT-FIXUP(T, z)调节二叉树使其满足红黑树的性质。

RB-INSERT
    y ← nil[T]
    x ← root[T]
    while x != nil[T]
        do y ← x
        if key[z] < key[x]
            x ← left[x]
        else x ← right[x]
    p[z] ← y
    if y = nil[T]
        root[T] = z
    else if key[z] < key[y]
        left[y] ← z
    else
        right[y] ← z
    left[z] ← nil[T]
    right[z] ← nil[T]
    color[z] ← RED
    RB-INSERT-FIXUP(T, z)

　　RB-INSERT-FIXUP对插入结果进行修饰，可能会存在以下3中违反红黑树性质的情况（示例图假设“当前节点”为x，且父节点是祖父节点的左孩子，如果是右孩子，则将下面左右调转即可）：

　　case 1：父亲是红色的，叔叔也是红色的

　　　　处理方法
　　　　1.将“父节点”设为黑色
　　　　2.将“叔叔节点”设为黑色
　　　　3.将“祖父节点”设为红色
　　　　4.将“祖父节点”设为当前节点

　　　　　　

　　case 2：父亲是红色的，叔叔是黑色的，当前节点是右孩子

　　　　处理方法：
　　　　1.将“父节点”作为“当前节点”
　　　　2.以“当前节点”为支点进行左旋

　　

　　case 3：父亲是红色的，叔叔是黑色的，当前节点是左孩

　　　　处理方法：
　　　　1.将“父节点”设为黑色。
　　　　2.将“祖父节点”设为红色。
　　　　3.以“祖父节点”为支点进行右旋。

　　

　　以下是RB－INSERT－FIXUP的过程：

RB-INSERT-FIXUP(T, z)
　　while color[p[z]] = RED　　　　　　　　　　  // 若“当前节点(z)的父节点是红色”，则进行以下处理。
　　　　do 
　　　　　　if p[z] = left[p[p[z]]]　　　　　　  // 若“z的父节点”是“z的祖父节点的左孩子”，则进行以下处理。
　　　　　　　　y ← right[p[p[z]]]　　　　　　　　// 将y设置为“z的叔叔节点(z的祖父节点的右孩子)”
　　　　　　　　if color[y] = RED              // Case 1条件：叔叔是红色
　　　　　　　　　　color[p[z]] ← BLACK         ▹ Case 1   //  (01) 将“父节点”设为黑色。
          　　　　color[y] ← BLACK            ▹ Case 1   //  (02) 将“叔叔节点”设为黑色。
          　　　　color[p[p[z]]] ← RED        ▹ Case 1   //  (03) 将“祖父节点”设为“红色”。
          　　　　z ← p[p[z]]                 ▹ Case 1   //  (04) 将“祖父节点”设为“当前节点”(红色节点)
　　　　　　　　else if z = right[p[z]]        // Case 2条件：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子
          　　　　z ← p[z]                    ▹ Case 2   //  (01) 将“父节点”作为“新的当前节点”。
          　　　　LEFT-ROTATE(T, z)           ▹ Case 2   //  (02) 以“新的当前节点”为支点进行左旋。
　　　　　　　　else    　　　　　　　　　　　　　　// Case 3条件：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子。
          　　　　color[p[z]] ← BLACK         ▹ Case 3   //(01) 将“父节点”设为“黑色”。
　　　　　　　　　　color[p[p[z]]] ← RED        ▹ Case 3   //  (02) 将“祖父节点”设为“红色”。
　　　　　　　　　　RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]])    ▹ Case 3   //  (03) 以“祖父节点”为支点进行右旋。

　　　　　　// 若“z的父节点”是“z的祖父节点的右孩子”，将上面的操作中“right”和“left”交换位置，然后依次执行。
　　　　　　else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)      
　　color[root[T]] ← BLACK

4.删除

　　与插入相似，删除操作也是基本与二叉查找树的删除操作相同，只是在最后要对树做RB-DELETE-FIXUP修复，使得树依然能满足红黑树的性质。

　　第一步：将红黑树当作二叉查找树，将节点删除，分三种情况
　　1.被删除节点没有儿子，直接将该节点删除
　　2.被删除节点只有一个儿子，直接删除该节点，并用该节点的唯一子节点顶替它的位置
　　3.被删除节点有两个儿子，先找出它的后继节点；然后把“它的后继节点的内容”与“该节点的内容”交换；之后，删除“它的后继节点”。

　　第二步：对树做RB-DELETE-FIXUP操作，使得树满足红黑树的性质。RB-DELETE-FIXUP操作与RB-INSERT-FIXUP操作类似，不再做解释，以下是删除的过程：

RB-DELETE(T, z)
　　if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T]         
　　　　y ← z　　　　　　　　　　　　　　　 　// 若“z的左孩子” 或 “z的右孩子”为空，则将“z”赋值给 “y”；
　　else y ← TREE-SUCCESSOR(z)　　　　　　// 否则，将“z的后继节点”赋值给 “y”。
　　if left[y] ≠ nil[T]
       x ← left[y]　　　　　　　　　　　　　// 若“y的左孩子” 不为空，则将“y的左孩子” 赋值给 “x”；
　　else 
　　　　x ← right[y]　　　　　　　　　　　　 // 否则，“y的右孩子” 赋值给 “x”。
　　p[x] ← p[y]                         // 将“y的父节点” 设置为 “x的父节点”
　　if p[y] = nil[T]                               
   　　root[T] ← x                      // 情况1：若“y的父节点” 为空，则设置“x” 为 “根节点”。
　　else if y = left[p[y]]                    
　　　　left[p[y]] ← x                   // 情况2：若“y是它父节点的左孩子”，则设置“x” 为 “y的父节点的左孩子”
　　else right[p[y]] ← x                // 情况3：若“y是它父节点的右孩子”，则设置“x” 为 “y的父节点的右孩子”
　　if y ≠ z                                    
   　　key[z] ← key[y]                  // 若“y的值” 赋值给 “z”。注意：这里只拷贝z的值给y，而没有拷贝z的颜色
　　　　copy y's satellite data into z         
　　if color[y] = BLACK                            
　　　　then RB-DELETE-FIXUP(T, x)       // 若“y为黑节点”，则调用
　　return y        

RB-DELETE-FIXUP(T, x)
　　while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK  
　　　　do 
　　　　　　if x = left[p[x]]      
　　　　　　　　w ← right[p[x]]　　　　　　// 若 “x”是“它父节点的左孩子”，则设置 “w”为“x的叔叔”(即x为它父节点的右孩子) 
　　　　　　if color[w] = RED           // Case 1: x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是红色。(此时x的父节点和x的兄弟节点的子节点都是黑节点)。
　　　　　　　　color[w] ← BLACK         ▹  Case 1   //   (01) 将x的兄弟节点设为“黑色”。
　　　　　　　　color[p[x]] ← RED        ▹  Case 1   //   (02) 将x的父节点设为“红色”。
　　　　　　　　LEFT-ROTATE(T, p[x])     ▹  Case 1   //   (03) 对x的父节点进行左旋。
　　　　　　　　w ← right[p[x]]          ▹  Case 1   //   (04) 左旋后，重新设置x的兄弟节点。
　　　　　　if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK       
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　// Case 2: x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色，x的兄弟节点的两个孩子都是黑色。
　　　　　　　　then color[w] ← RED      ▹  Case 2   //   (01) 将x的兄弟节点设为“红色”。
　　　　　　　　x ←  p[x]                ▹  Case 2   //   (02) 设置“x的父节点”为“新的x节点”。
　　　　　　else if color[right[w]] = BLACK
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　// Case 3: x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的左孩子是红色，右孩子是黑色的。
　　　　　　　　then color[left[w]] ← BLACK     ▹  Case 3   //   (01) 将x兄弟节点的左孩子设为“黑色”。
　　　　　　　　color[w] ← RED                  ▹  Case 3   //   (02) 将x兄弟节点设为“红色”。
　　　　　　　　RIGHT-ROTATE(T, w)              ▹  Case 3   //   (03) 对x的兄弟节点进行右旋。
　　　　　　　　w ← right[p[x]]                 ▹  Case 3   //   (04) 右旋后，重新设置x的兄弟节点。
　　　　　　else　　　　　　　　　　　　　　　　// Case 4: x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的右孩子是红色的。
　　　　　　　　color[w] ← color[p[x]]      ▹  Case 4   // (01) 将x父节点颜色 赋值给 x的兄弟节点。
　　　　　　　　color[p[x]] ← BLACK         ▹  Case 4   //   (02) 将x父节点设为“黑色”。
　　　　　　　　color[right[w]] ← BLACK     ▹  Case 4   //   (03) 将x兄弟节点的右子节设为“黑色”。
　　　　　　　　LEFT-ROTATE(T, p[x])        ▹  Case 4   //   (04) 对x的父节点进行左旋。
　　　　　　　　x ← root[T]                 ▹  Case 4   //   (05) 设置“x”为“根节点”。
　　　　// 若 “x”是“它父节点的右孩子”，将上面的操作中“right”和“left”交换位置，然后依次执行。
　　　　else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)        
　　　　color[x] ← BLACK