第6章 树

树（Tree）是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、........、Tm,其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree)，如图6-2-1所示

 

 

结点分类：

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（Degree)。度为0的结点称为叶结点（Leaf)或终端结点;度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。如图6-2-4所示，因为这棵树结点的度的最大值是结点D的度，为3，所以树的度也为3。

 

 

 结点间的关系：

结点的子树的根称为该结点的孩子（Child)，相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling)。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。所以对于H点来说，D、B、A都是它的祖先。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。B的子孙有D、G、H、I,如图6-2-5所示。

 

 

树的其他相关概念：

结点的层次（Level)从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第I层，则其子树的根就在第I+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。显然图6-2-6中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、I、J也是。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth）或高度。当前树的深度为4。

 

   如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称为该树为有序树，否则称为无序树。

森林（Forest)是m（m>=0)颗互不相交的树的集合。

 

线性表与树的结构的异同：

 

 

数的抽象数据类型：

 

  

树的存储结构表示:双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

# 双亲表示法：在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。

 

存储结构的设计是一个非常灵活的过程。一个存储结构设计得是否合理，取决于基于该存储结构的运算是否适合、是否方便，时间复杂度好不好等。

# 孩子表示法：每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一颗子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。

 

 把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

 

 

# 双亲孩子表示法

 

 # 孩子兄弟表示法：任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。