洛谷3227 切糕（最小割）

题目描述

经过千辛万苦小 A 得到了一块切糕，切糕的形状是长方体，小 A 打算拦腰将切糕切成两半分给小 B。出于美观考虑，小 A 希望切面能尽量光滑且和谐。于是她找到你，希望你能帮她找出最好的切割方案。

出于简便考虑，我们将切糕视作一个长 P、宽 Q、高 R 的长方体点阵。我们将位于第 z层中第 x 行、第 y 列上(1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)的点称为(x,y,z)，它有一个非负的不和谐值 v(x,y,z)。一个合法的切面满足以下两个条件：

与每个纵轴(一共有 P*Q 个纵轴)有且仅有一个交点。即切面是一个函数 f(x,y)，对于所有 1≤x≤P, 1≤y≤Q,我们需指定一个切割点 f(x,y),且 1≤f(x,y)≤R。

切面需要满足一定的光滑性要求，即相邻纵轴上的切割点不能相距太远。对于所有的 1≤x,x’≤P 和 1≤y,y’≤Q，若|x-x’|+|y-y’|=1，则|f(x,y)-f(x’,y’)| ≤D，其中 D 是给定的一个非负整数。 可能有许多切面f 满足上面的条件，小A 希望找出总的切割点上的不和谐值最小的那个。

输入输出格式

输入格式：
第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、 宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个 矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1<=x<=P, 1<=y<=Q, 1<=z<=R)。 100%的数据满足P,Q,R<=40，0<=D<=R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。

输出格式：
仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。

QwQ说实话 这个题一开始我连题意都没有理解，

这里是简化版的题意

可以这么来理解，就是先假设一个平面有(p*q)个点，然后对于每个点((i,j))，必须选择一个值(k)，得到一个不开心值(v(i,j,k))，相邻两个点的(k)值之差要小雨(d)，求最小化不开心值的和QwQ

其实一开始，看这个题.....没什么思路 嗯

看了题解，听过某大佬的讲解之后，才知道是个最小割
既然这样，我们就不妨先忽略这个(d)的限制条件，考虑没有限制的情况

我们不妨设源点和汇点(s,t)，增加一个附加层(r+1)层

然后(s)向第一层的点连边，(r+1)层的边向(t)连边

对于中间的点，很显然是((i,j,k)->(i,j,k+1)) 流量为(v(i,j,k)),很容易证明，这样跑最小割，每一个纵轴，会且仅会切一道。

那么加上限制.....该怎么限制呢

让删除这些边 不影响连通 不就好了咯

对于相邻的两个点((i,j))和((x,y)),我们将((i,j,k)->(x,y,k-d))流量是(inf) 就能保证QwQ当((i,j))选了k的时候，((x,y))必须要弄距离是D以内的
QwQ相反同理

然后....一定一定记得看清楚读入的顺序

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>

using namespace std;

inline int read()
{
   int x=0,f=1;char ch=getchar();
   while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
   while (isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
   return x*f;
}

const int maxn = 55;
const int maxm = 2e6+1e2;
const int inf = 1e9;

int a[maxn][maxn][maxn];
int point[100010],nxt[maxm],val[maxm],to[maxm];
int h[100010];
queue<int> que;
int cnt=1;
int s,t;
int dx[5]={0,1,0,-1,0};
int dy[5]={0,0,1,0,-1};

void addedge(int x,int y,int w)
{
	nxt[++cnt]=point[x];
	to[cnt]=y;
	val[cnt]=w;
	point[x]=cnt;
}

void insert(int x,int y,int w)
{
	addedge(x,y,w);
	addedge(y,x,0);
}

bool bfs(int s)
{
	memset(h,-1,sizeof(h));
	h[s]=0;
	que.push(s);
	while (!que.empty())
	{
		int x = que.front();
		que.pop();
		for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
		{
			int p  = to[i];
			if (val[i]>0 &&h[p]==-1)
			{
				h[p]=h[x]+1;
				que.push(p);
			}
		}
	}
	if (h[t]==-1) return false;
	else return true;
}

int dfs(int x,int low)
{
	if (x==t || low==0) return low;
	int totflow=0;
	for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
	{
		int p = to[i];
	    if (val[i]>0 && h[p]==h[x]+1)
	    {
	    	int tmp = dfs(p,min(low,val[i]));
	    	val[i]-=tmp;
	    	val[i^1]+=tmp;
	    	low-=tmp;
	    	totflow+=tmp;
	    	if (low==0) return totflow;
	    }
	}
	if (low>0) h[x]=-1;
	return totflow;
}

int solve()
{
	int ans=0;
	while (bfs(s))
	{
		ans+=dfs(s,inf);
	}
	return ans;
}
int p,q,r;
int d;

int main()
{
  p=read(),q=read(),r=read();
  d=read();
  for (int k=1;k<=r;k++)
    for (int i=1;i<=p;i++)
      for (int j=1;j<=q;j++)
        a[i][j][k]=read();
   s=100004;
   t=s+1;
  for (int i=1;i<=p;i++)
    for (int j=1;j<=q;j++)
    {
    	insert(s,(i-1)*q+j,inf);
    }
  for (int i=1;i<=p;i++)
  {
  	for (int j=1;j<=q;j++)
  	{
  		int now = (i-1)*q+j;
  		for (int k=1;k<=r;k++)
  		{
  			insert(now+p*q*(k-1),now+p*q*k,a[i][j][k]);
  		}
  	}
  }
  for (int i=1;i<=p;i++)
    for (int j=1;j<=q;j++)
    {
    	insert((i-1)*q+j+p*q*r,t,inf);
    }
  for (int i=1;i<=p;i++)
    for (int j=1;j<=q;j++)
    {
    	for (int o=1;o<=4;o++)
    	{
    		int x = i+dx[o],y=j+dy[o];
    		if (x<1 || x>p || y<1 || y>q) continue;
    		for (int k=d;k<=r;k++)
    		{
    			insert(p*q*k+(i-1)*q+j,p*q*(k-d)+(x-1)*q+y,inf);
    		}
    	}
    }
    cout<<solve();
  return 0;
}