杜教筛学习笔记

QwQ一个不会莫比乌斯反演的蒟蒻来写杜教筛的博客了

这个是杜教筛的一般形式

中间那个先枚举几倍，实际上相当于把令(i=k*d) 然后进行k和d枚举

这么空说怎么好理解

我们来引入两道例题吧

(51nod) 莫比乌斯函数之和

求$$sum_{i=1}^{n}mu(i)$$

一看这个题，貌似没什么头绪呀。

我们可以现推一下

因为(mu * 1 = e)（或者写成(sum_{d|n}mu(d)=[n==1])

所以$$mu(n)=e(n)-sum_{d|n,d!=n}mu(d)$$

那么$$ans=sum_{i=1}^{n}(e(i)-sum_{d|i,d!=i}mu(i))$$

因为(sum_{i=1}^{n} e(i)=1)

所以$$ans=1-sum_{i=1}^{n}sum_{d|i,d!=i}mu(i)$$

我们令(i=k*d)，然后分别枚举k和d

[ans=1-sum_{k=2}^{n}sum_{d=1}^{lfloor frac{n}{k} floor}mu(i) ]

这里k从2开始枚举的原因是因为(d!=i)

到这里我们能发现对于(frac{n}{k})可以整除分块 且(sum_{d=1}^{lfloor frac{n}{k} floor}mu(i))这个式子实际上是一个子问题，可以通过递归求值，只需要记忆化一下，就可以解决了

那么到这里，我们杜教筛的大致思路也就出来了

1.将一些小数的ans值筛出来，然后记忆化
2.对于一个数(x)，我们可以进行分块，然后递归求解

直接上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<unordered_map> 
using namespace std;

inline long long read()
{
  long long x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 4700000;

int prime[maxn],check[maxn];
int mu[maxn];
int tot;
unordered_map<long long,int> mp;

void init(int n)
{
	mu[1]=1;
	check[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!check[i])
		{
			prime[++tot]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for (int j=1;j<=tot;j++)
		{
			if (i*prime[j]>n) break;
			check[i*prime[j]]=1;
			if (i%prime[j]==0) break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for (int i=2;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1]; 
}

long long l,r;

long long dfs(long long x)
{
	if (x<=maxn) return mu[x];
	if (mp[x]) return mp[x];
	long long ans=1;
	for (long long i=2,j=0;i<=x;i=j+1)
	{
		j=x/(x/i);
		ans=ans-dfs(x/i)*(j-i+1);
	}
	mp[x]=ans;
	return ans;
}

int main()
{
  init(maxn);
  l=read(),r=read();
  cout<<dfs(r)-dfs(l-1); 
  return 0;
}

第二个问题是(51nod) 欧拉函数之和

其实这两个问题是差不多的

针对这个问题，我们要求的是$$sum_{i=1}^{n}phi(i)$$

还是同样
因为(id=1*phi) (或者写成(sum_{d|n}phi(d)=n)）

那么$$phi(n)=id-sum_{d|n,d!=n}phi(d)$$

那我们要求的$$ans=sum_{i=1}^{n}(id-sum_{d|n,d!=n}phi(d))$$

[ans=frac{(n+1)n}{2}-sum_{i=1}^{n}sum_{d|i,d!=i}phi(d) ]

设(i=k*d)

[ans=frac{(n+1)n}{2}-sum_{k=2}^{n}sum_{d=1}^{lfloor frac{n}{k} floor}phi(d) ]

[ans=frac{(n+1)n}{2}-sum_{k=2}^{n}ans({lfloor frac{n}{k} floor}) ]

然后就可以和上一道题一样的思路，直接做就好

上代码（注意取膜的时候的一些注意事项）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#define ll long long
#include<unordered_map>
using namespace std;

inline ll read()
{
  ll x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 6e6+1e2;
const ll mod = 1e9+7;

ll phi[maxn];
ll prime[maxn];
int check[maxn];
ll l,r;
int tot;

ll qsm(ll i,ll j)
{
	ll ans=1;
	while (j)
	{
		if (j&1) ans=ans*i%mod;
		i=i*i%mod;
		j>>=1;
	}
	return ans;
}

ll inv = qsm(2,mod-2);

unordered_map<long long,long long> mp,mp1;

void init(ll n)
{
	phi[1]=1;
	check[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!check[i])
		{
			prime[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for (int j=1;j<=tot;j++)
		{
			if (i*prime[j]>n) break;
			check[i*prime[j]]=1;
			if (i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]%mod;
				break;
			}
			else
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1)%mod;
			}
		}
	}
	for (int i=2;i<=n;i++) phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%mod;
}

ll dfs(ll x)
{
	if (x<=maxn) return phi[x]%mod;
	if (mp1[x]) return mp[x]%mod;
	long long ans=x%mod*(x%mod+1)%mod*inv%mod;
	for (ll i=2,j=0;i<=x;i=j+1)
	{
		j=x/(x/i);
		ans=(ans-(j-i+1)%mod*dfs(x/i)%mod+mod)%mod;
	}
	ans=(ans%mod+mod)%mod;
	mp[x]=ans;
	mp1[x]=1;
	return ans;
}

int main()
{
  init(maxn-10);
  l=read();
  cout<<dfs(l)%mod;
  return 0;
}