[HNOI2013]游走
考虑随机游走时一条边 $ (x,y) $ 被经过，只有两种情况，要么是我们走到了点 $ x $ ，然后随机钦定了 $ y $ ，要么就是反过来。我们假设一个点的度数为 $ deg[i] $ ，假设一个点期望会经过 $ t[u] $ 次，所以一个边所贡献的权值就是 $ w imes ( frac{t[x]}{deg[x]} + frac{t[y]}{deg[y]} ) $ 。
所以现在我们的目标就是求 $ t $ 。发现 $ n leq 500 $ 我们可以考虑高消，具体而言，可以列出
[t[u] = sum frac{t[v]}{deg[v]}
]
特别的，对于第一个点必然会被经过一次， $ t[1] = 1 + sum frac{t[v]}{deg[v]} $ ，而 $ t[n] = 0 $，因为到达了 $ n $ 号点就结束了。
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using namespace std;
#define MAXN 506
int n , m;
#define eps 1e-6
int deg[MAXN];
double A[MAXN][MAXN];
int gauss( ) {
for( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) { // cur : 第 i 行
int mxpos = i;
for( int j = i ; j <= n ; ++ j ) if( fabs( A[j][i] ) - fabs( A[mxpos][i] ) > eps )
mxpos = j;
for( int j = 1 ; j <= n + 1 ; ++ j )
swap( A[i][j] , A[mxpos][j] );
double c = A[i][i];
if( c == 0 ) { return 0; }
A[i][i] = 1;
for( int j = i + 1 ; j <= n + 1 ; ++ j )
A[i][j] /= c;
for( int j = 1 ; j <= n ; ++ j ) if( j != i ) { // cur : 第 j 行
double cc = A[j][i]; A[j][i] = 0;
for( int k = i + 1 ; k <= n + 1 ; ++ k ) // cur : 第 k 列
A[j][k] -= cc * A[i][k];
}
}
return 1;
}
pair<int,int> E[MAXN * MAXN];
double w[MAXN * MAXN];
int G[MAXN][MAXN];
int main() {
cin >> n >> m;
for( int i = 1 , u , v ; i <= m ; ++ i ) {
scanf("%d%d",&u,&v);
++ deg[u] , ++ deg[v]; G[u][v] = G[v][u] = 1;
E[i] = make_pair( u , v );
}
A[1][n + 1] = -1;
for( int i = 1 ; i < n ; ++ i )
for( int j = 1 ; j < n ; ++ j )
if( G[i][j] )
A[i][j] = 1.0 / deg[j];
else if( i == j ) A[i][j] = -1.0;
A[n][n] = 1;
// for( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
// for (int j = 1; j <= n + 1; ++j) printf("%.3f ", A[i][j]); puts("");
// }
gauss( );
// for( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) cout << A[i][n + 1] << endl;
for( int i = 1 ; i <= m ; ++ i ) {
int u = E[i].first , v = E[i].second;
w[i] = A[u][n + 1] / deg[u] + A[v][n + 1] / deg[v];
}
sort( w + 1 , w + 1 + m );
double res = 0;
for( int i = 1 ; i <= m ; ++ i ) res += ( m - i + 1 ) * w[i];
printf("%.3f",res);
}