Yet Another Minimization Problem

Yet Another Minimization Problem

一个很显然的决策单调性。

方程是很显然的 $ f_i = min{f_{j-1} + w(j,i)} $ 。

它具有决策单调性，可以参考钟神的 Blog

我们考虑怎么实现这个东西，按照上次 DLS 讲的，考虑 solve(l,r,L,R) 表示 我们当前在处理 $ l,r $ 的 $ dp $ 值，我们知道当前决策点在 $ L,R $ 内。

然后考虑怎么求，先对 $ mid $ 暴力跑出决策位置，然后分治 solve(l,mid-1,L,op),solve(mid+1,r,op,R)。复杂度是 $ nlogn $ 的，因为每一层分治的时间是 $ O(r - l + R - L) $

但是还得求 $ w(l,r) $，这个东西我们可以直接类似莫队来算，因为总的移动的位置的和就是前面的 $ R - L $ 的和，这个是不影响复杂度的。

代码很短，也很好写。。（没开llwa了两发

#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "cstring"
#include "cstdio"
using namespace std;
#define MAXN 100006
#define chkmn( a , b ) ( (a) > (b) ? ( (a) = (b) , 1 ) : 0 )
#define chkmx( a , b ) ( (a) < (b) ? ( (a) = (b) , 1 ) : 0 )
#define f( a ) ( (a) > 0 ? (a) : 0 )
int n , k;
int A[MAXN] , cn[MAXN];
int L = 1 , R = 0;
long long cw , dp[MAXN] , nw[MAXN];
void upd(int c,int d){ cw += 1ll * d * cn[c] * (cn[c] - 1) / 2;}
long long getw( int l , int r ) {
    while( L < l ) upd( A[L] , -1 ) , -- cn[A[L]] , upd( A[L] , 1 ) , ++ L;
    while( R > r ) upd( A[R] , -1 ) , -- cn[A[R]] , upd( A[R] , 1 ) , -- R;
    while( L > l ) -- L , upd( A[L] , -1 ) , ++ cn[A[L]] , upd( A[L] , 1 );
    while( R < r ) ++ R , upd( A[R] , -1 ) , ++ cn[A[R]] , upd( A[R] , 1 );
    return cw;
}
void solve( int l , int r , int L , int R ) {
    if( l > r ) return;
    int mid = l + r >> 1 , op; nw[mid] = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    for( int i = min( R , mid ) ; i >= L ; -- i ) {
        if( chkmn( nw[mid] , dp[i - 1] + getw( i , mid ) ) ) op = i;
    }
    if( l == r ) return;
    solve( l , mid - 1 , L , op ) , solve( mid + 1 , r , op , R );
}
int main() {
    cin >> n >> k;
    for( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) scanf("%d",&A[i]);
    memset( dp , 0x3f3f , sizeof dp ) , memset( nw , 0x3f3f , sizeof nw ) , dp[0] = 0;
    for( int i = 1 ; i <= k ; ++ i ) {
        solve( 1 , n , 1 , n );
        swap( nw , dp );
    }
    cout << dp[n] << endl;
}