论文阅读笔记之ICML2012::The Landmark Selection Method for Multiple Output Prediction 基于代表性特征选取的多维度回归方法

论文目标：

做high dimensional regression的问题，即 

一般做回归的时候y的维度会比x低，甚至是一维的，比如一般用回归来做分类、预测。

但是y的维度如果比较高，而x可以是高维也可以是低维，回归问题可能需要有不一样的角度去思考。

主要idea：

假设y中的feature是有冗余的，可以用一部分feature来拟合出整个y，我们需要找到那一些“好”的少量的feature（文章称之为landmark）来拟合y。于是可以分两步来做regrssion，

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基本实现方法：

首先解释一下landmark，其实很多其他文章中的landmark往往指的一些被选出来的样本点（sample），在这个文章中却是一些被选出来的数据特征（feature）。不过总是可以理解的。

实现方法分为三步

S1： 也是去完成文章假设的一步，去挑一些landmark feature，怎么挑？求解下面这个目标函数：

总的来看，（3）的意思是说用Y里面的一部分feature来进行线性组合，组合出来的y的表达要和原来的y尽可能的相似（F-norm）。其中项是group sparse约束，他的意思是先对A的每一行做norm约束，然后对norm vector做L1的sparse约束，得到的结果就是A的某一些行全为0。 第三项是对A整体做sparse 约束，得到的结果就是A的很多元素为0。Sparse的约束就是为了去找到那些最有用的landmark。这个思想在machine learning，computer vision很多研究里面都有体现。

S2：计算，通过A我们可以看到哪些feature被挑出来了，组成了y_L

然后用一般regression的方法根据training data来做回归，算出y_L

S3：用y_L 来还原出y

这一部分文章中写的很隐晦，可能作者觉得很好理解就没有具体讲。就我个人理解是得到了y_L以后得到y可以直接用下面的方法：

y用y *A 拟合，但是test集合y是需要我们计算的，不知道的。回顾第一步的假设，组合出来的y的表达要和原来的y尽可能的相似。而A是sparse的，于是实际上真正用来拟合的只是y_L，所用用第二步预测出来的y_L*A即可预测出整个test集合的y。

总结:

这篇文章解决问题的思路值得借鉴，把一个复杂问题简化成两个有关联又相对简单的问题来解。

文章中解第一步的优化问题的方法具体就不展开了，如果真的需要去解类似的group sparse问题的朋友可以去读读论文。