【DP】【P2734】游戏 A Game

传送门

Description

　　有如下一个双人游戏:N个正整数的序列放在一个游戏平台上，游戏由玩家1开始，两人轮流从序列的任意一端取一个数，取数后该数字被去掉并累加到本玩家的得分中，当数取尽时，游戏结束。以最终得分多者为胜。编一个执行最优策略的程序，最优策略就是使玩家在与最好的对手对弈时，能得到的在当前情况下最大的可能的总分的策略。你的程序要始终为第二位玩家执行最优策略。

Input

第一行: 正整数N, 表示序列中正整数的个数。

第二行至末尾: 用空格分隔的N个正整数（大小为1-200）。

Output

只有一行，用空格分隔的两个整数: 依次为玩家一和玩家二最终的得分。

Sample Input

6 
4 7 2 9 5 2

Sample Output

18 11

Hint

2 <= N <= 100

Solution

　　计算型博弈论基础题。设f[l][r]为区间[l,r]的先手取数的最大得分，sum为前缀和，有状态转移方程：

　　　　　　f[l][r]=max(s[r]-s[l-1]-f[l+1][r],s[r]-s[l-1]+f[l][r-1)=s[r]-s[l-1]-min(f[l+1][r],f[l][r-1])。

　　　注意到一个区间中的数要么被A区要么被B取，其总和不变，所以每个人的最优策略其实是让对手取最少的数。

Code

#include<cstdio>
#define maxn 105

inline void qr(int &x) {
    char ch=getchar();int f=1;
    while(ch>'9'||ch<'0')    {
        if(ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')    x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    x*=f;
    return;
}

inline int max(const int &a,const int &b) {if(a>b) return a;else return b;}
inline int min(const int &a,const int &b) {if(a<b) return a;else return b;}
inline int abs(const int &x) {if(x>0) return x;else return -x;}

inline void swap(int &a,int &b) {
    int c=a;a=b;b=c;return;
}

int n,sum[maxn],frog[maxn][maxn];

int main() {
    qr(n);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        qr(frog[i][i]);sum[i]=sum[i-1]+frog[i][i];
    }
    for(int i=1;i^n;++i) {
        for(int l=1;l^n;++l) {
            int r=l+i;if(r>n)    break;
            int s=sum[r]-sum[l-1];
            frog[l][r]=s-min(frog[l+1][r],frog[l][r-1]);
        }
    }
    printf("%d %d
",frog[1][n],sum[n]-frog[1][n]);
    return 0;
}

Summary

　　进行区间博弈论一般使用区间DP进行转移，状态设计为区间中最大/最小得分