拉格朗日插值matlab实现

已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。

1. 线性插值

clc;clear;
y=sin_L(0.32,0.314567,0.34,0.333487,0.3367);
function y=sin_L(x0,y0,x1,y1,x)
% sin_L输出sin(x)使用线性插值计算得到的函数值
% 例如: y=sin_L(0.32,0.314567,0.34,0.333487,0.3367)
%       y = 
%           0.3304
%       R = 
%           9.1892e-06
 
% 以下为判断输入值是否合法的代码
if nargin~=5 %nargin表示number of function input arguments,判断函数输入参数的个数
    error('请输入一次插值的2个插值节点和待插值点')
end
if ~( isnumeric(x0)&&isnumeric(y0)&&isnumeric(x1)&&isnumeric(y1)&&isnumeric(x) ) %isnumeric()检测字符串是否只由数字组成，如果字符串中只包括数字，就返回Ture，否则返回False。
    error('输入参数必须是数')
end
 
% 核心计算的代码
%y=y0+(y1-y0)*(x-x0)/(x1-x0);%已知一次多项式，即直线上两点，可以用点斜式写出直线
y=y0*(x-x1)/(x0-x1)+y1*(x-x0)/(x1-x0); %两点式
% 以下为求解截断误差的代码
syms M2; % 因为sin(x)的二阶导数是本身，所以只需要挑出最大的y值，即可得到M2  %syms函数用于创建符号对象
if y0>y1
    M2=y0; 
else
    M2=y1;
end
R=M2*abs((x-x0)*(x-x1))/2;
disp(['插值结果是：y=',num2str(y)]);
disp(['最大误差是：R=',num2str(R)]);
end

2. 抛物插值

clc;clear;
%y1=sin_L(0.32,0.314567,0.34,0.333487,0.3367);%一次性插值
y2=sin_T(0.32,0.314567,0.34,0.333487,0.36,0.352274,0.3367)%二次抛物插值
function y=sin_L(x0,y0,x1,y1,x)
% sin_L输出sin(x)使用线性插值计算得到的函数值
% 例如: y=sin_L(0.32,0.314567,0.34,0.333487,0.3367)
%       y = 
%           0.3304
%       R = 
%           9.1892e-06
 
% 以下为判断输入值是否合法的代码
if nargin~=5 %nargin表示number of function input arguments,判断函数输入参数的个数
    error('请输入一次插值的2个插值节点和待插值点')
end
if ~( isnumeric(x0)&&isnumeric(y0)&&isnumeric(x1)&&isnumeric(y1)&&isnumeric(x) ) %isnumeric()检测字符串是否只由数字组成，如果字符串中只包括数字，就返回Ture，否则返回False。
    error('输入参数必须是数')
end
 
% 核心计算的代码
%y=y0+(y1-y0)*(x-x0)/(x1-x0);%已知一次多项式，即直线上两点，可以用点斜式写出直线
y=y0*(x-x1)/(x0-x1)+y1*(x-x0)/(x1-x0); %两点式
% 以下为求解截断误差的代码
syms M2; % 因为sin(x)的二阶导数是本身，所以只需要挑出最大的y值，即可得到M2  %syms函数用于创建符号对象
if y0>y1
    M2=y0; 
else
    M2=y1;
end
R=M2*abs((x-x0)*(x-x1))/2;
disp(['插值结果是：y=',num2str(y)]);
disp(['最大误差是：R=',num2str(R)]);
end


function y=sin_T(x0,y0,x1,y1,x2,y2,x)
% sin_T输出sin(x)使用抛物插值计算得到的函数值
% 例如: y=sin_T(0.32,0.314567,0.34,0.333487,0.36,0.352274,0.3367)
%       y = 
%           0.3304
%       R = 
%           2.0315e-07
 
% 以下为判断输入值是否合法的代码
if nargin~=7
    error('请输入线性插值的插值节点和插值点')
end
if ~( isnumeric(x0)&&isnumeric(y0)&&isnumeric(x1)&&isnumeric(y1)&&isnumeric(x2)&&isnumeric(y2)&&isnumeric(x) )
    error('输入参数必须是数')
end
 
% 核心计算的代码
y=y0*(x-x1)*(x-x2)/((x0-x1)*(x0-x2))+y1*(x-x0)*(x-x2)/((x1-x0)*(x1-x2))+y2*(x-x0)*(x-x1)/((x2-x0)*(x2-x1));
 
%{
% 以下为求解截断误差的代码
y_0=cos(x0); % 因为sin(x)的三阶导数是cos(x),那么只要求出x0,x1,x2的cos值，然后去最大即可得到M3
y_1=cos(x1);
y_2=cos(x2);
syms M3;
if y_0>y_1
    M3=y_0;
else
    M3=y_1;
end
if y_2>M3
    M3=y_2;
end
R=M3*abs((x-x0)*(x-x1)*(x-x2))/6
end
%}

% 以下为求解截断误差的代码
%sysm M3;
M3=cos(x0);%因为在第一象限，cosx是减函数，所以节点处的最大值在第一个节点那里取得
R=M3*abs((x-x0)*(x-x1)*(x-x2))/6
end

参考来源：https://blog.csdn.net/m0_37395228/article/details/80874393

五，优点和缺点

　　拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。（https://www.cnblogs.com/fengzhiyuan/p/8645246.html）