这里写几个我高中时背过的计数题目(捂脸)
Composition
- 让你求方程\(x_1+x_2+...+x_n=m\)(其中\(x_i\)是正整数)的解的个数。
答案是\[C_{m-1}^{\ n-1}=C_{m-1}^{\ m-n} \]
证明方法有很多，这里给一个高中生容易理解的：
想象\(m\)个球摆成一行，在\(m-1\)个间隔中选择\(n-1\)个变成挡板，球被隔开成\(n\)部分，从左至右的各个部分中球数目正好是\(x_i\)，答案是\(C_{m-1}^{\ n-1}\)
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让你求方程\(x_1+x_2+...+x_n=m\)(其中\(x_i\)是非负整数)的解的个数。
答案是
\[C_{m+n-1}^{\ n-1}=C_{m+n-1}^{\ m} \]
证明方法有很多，这里给一个高中生容易理解的：
有点像线性优化理论用的松弛，
答案和方程\(x_1+x_2+...+x_n=m+n\)(其中\(x_i\)是正整数)的解的个数一样，
套上面的公式，答案是\(C_{(m+n)-1}^{\ n-1}=C_{m+n-1}^{\ n-1}\)
可重复元素的组合
给个情境吧：你是饼干店铺老板，你有小熊饼干、小猫饼干、小狗饼干(都十分充足）,共\(m\)种。你要出一盒内有\(n\)个饼干的套餐（n个饼干间无序），问你有多少种套餐方案。
例如，\(m=3,n=2\)，答案是6，\(aa,bb,cc,ab,ac,bc\)
答案是
\[C_{m+n-1}^{\ n}=C_{m+n-1}^{\ m-1}
\]
欧拉对这个问题的思路是：建立bijection
举个例子，有6种，标号为123456
如果套餐
组合111，映射为组合123；
组合112，映射为组合124；
组合122，映射为组合134；
组合222，映射为组合234；
组合223，映射为组合235；
组合666，映射为组合678.
(把套餐里的种类标识排序后，按照位置+0，+1，+2，+3,...)
新组合是\(m+n-1\)个不同元素取\(n\)个的组合
答案是\(C_{m+n-1}^{\ n}\)