二叉树

目录

• 1. 树
• 2 二叉树
  • 1 定义
  • 2 二叉树特点
  • 3 二叉树性质
  • 4 斜树
  • 5 满二叉树
  • 6 完全二叉树
  • 7 二叉树的实现
  • 8 二叉树遍历
    • 1定义
    • 2实现
      • 1.1前序遍历递归
      • 1.2前序遍历迭代
      • 2.1中序遍历递归
      • 2.2中序遍历迭代
      • 3.1后序遍历递归
      • 3.2后序遍历迭代
      • 4.1层序遍历递归
      • 4.2层序遍历迭代

1. 树

• 1.树（Tree）

  • 是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
    1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
    2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
  • 此外，树的定义还需要强调以下两点：
    1）n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
    2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
  • 图为一棵普通的树：

  

• 2.结点的度

  • 结点拥有的子树数目称为结点的度。
  • 图所示树的各个结点的度。

  

• 3.结点关系

  • 结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
    A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。
    同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
    结点B与结点C互为兄弟结点。

• 4.结点层次

  • 从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。

• 5.树的深度

  • 树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。上图所示树的深度为3。

2 二叉树

1 定义

• 二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

2 二叉树特点

• 由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
  1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
  2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
  3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

3 二叉树性质

• 1）在二叉树的第i层上最多有2^i-1 个节点 。（i>=1）
  2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2^k-1个节点。(k>=1）
  3）n₀=n₂+1 n₀表示度数为0的节点数，n₂表示度数为2的节点数。
  4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log₂n]+1，其中[log₂n]是向下取整。
  5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：

(1) 如果i>=0，则序号为i节点的双亲结点的序号为（i-1）/2；如果i=0，则序号i节点无双亲结点

（2）如果2i+1<n，则序号i结点的左孩子的序号为2i+1，右孩子的序号为2i+2；如果2i+1>=n，则序号i节点无孩子节点

4 斜树

• 斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

5 满二叉树

• 满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
• 满二叉树的特点有：
  1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
  2）非叶子结点的度一定是2。
  3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

6 完全二叉树

• 完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
• 特点：
  1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
  2）最下层的叶子结点集中在树的左部，且中间不能断搁
  3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
  4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
  5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
  注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。

7 二叉树的实现

• 定义二叉树结构

# Definition for a binary tree node.
class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

• 生成二叉树，将列表转成二叉树

def Create_Tree(root , list, i):
    if i<len(list):
        if not list[i]:    return None
        else:
            root = TreeNode(list[i])
            root.left = Create_Tree(root.left, list, i*2+1)
            root.right = Create_Tree(root.right,list, i*2+2)
            return root
    return root

8 二叉树遍历

1定义

• 二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。
  二叉树的访问次序可以分为四种：
  • 前序遍历：根->左->右
  • 中序遍历：左->根->右
  • 后序遍历：左->右->根
  • 层序遍历

2实现

1.1前序遍历递归

class Solution:
    def preorderTraversal(self, root):  ##前序遍历
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        if not root:
            return [] 
        return  [root.val] + self.preorderTraversal(root.left) + self.preorderTraversal(root.right)

1.2前序遍历迭代

• 先看前序遍历。我们仍然使用栈stack，由于前序遍历的顺序是中左右，所以我们每次先打印当前结点curr，并将右子结点push到栈中，然后将左子结点设为当前结点。入栈和出栈条件（当前结点curr不为None时，每一次循环将当前结点curr入栈；当前结点curr为None时，则出栈一个结点）以及循环结束条件（整个循环在stack和curr皆为None的时候结束）

class Solution:
    def preorderTraversal(self, root):  ## 前序遍历
        stack = []
        sol = []
        curr = root
        while stack or curr:
            if curr:
                sol.append(curr.val)
                stack.append(curr.right)
                curr = curr.left
            else:
                curr = stack.pop()
        return sol

2.1中序遍历递归

class Solution:
    def inorderTraversal(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        if not root:
            return [] 
        return self.inorderTraversal(root.left) + [root.val] + self.inorderTraversal(root.right)

2.2中序遍历迭代

• 对于中序遍历的循环实现，每次将当前结点(curr)的左子结点push到栈中，直到当前结点(curr)为None。这时，pop出栈顶的第一个元素，设其为当前结点，并输出该结点的value值，且开始遍历该结点的右子树

class Solution:
    def inorderTraversal(self, root):
        stack = []
        sol = []
        curr = root
        while stack or curr:
            if curr:
                stack.append(curr)
                curr = curr.left
            else:
                curr = stack.pop()
                sol.append(curr.val)
                curr = curr.right
        return sol

3.1后序遍历递归

class Solution:
    def postorderTraversal(self, root):  ##后序遍历
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        if not root:
            return [] 
        return  self.postorderTraversal(root.left) + self.postorderTraversal(root.right) + [root.val]

3.2后序遍历迭代

• 再看后序遍历。由于后序遍历的顺序是左右中，我们把它反过来，则遍历顺序变成中右左，是不是跟前序遍历只有左右结点的差异了呢？然而左右的差异仅仅就是.left和.right的差异，在代码上只有机械的差别

class Solution:
    def postorderTraversal(self, root): ## 后序遍历
        stack = []
        sol = []
        curr = root
        while stack or curr:
            if curr:
                sol.append(curr.val)
                stack.append(curr.left)
                curr = curr.right
            else:
                curr = stack.pop()
        return sol[::-1]

4.1层序遍历递归

• 递归函数需要有一个参数level，该参数表示当前结点的层数。遍历的结果返回到一个二维列表sol=[[]]中，sol中的每一个子列表保存了对应index层的从左到右的所有结点value值。

class Solution:
    def levelOrder(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[List[int]]
        """
        def helper(node, level):
            if not node:
                return
            else:
                sol[level-1].append(node.val)
                if len(sol) == level:  # 遍历到新层时，只有最左边的结点使得等式成立
                    sol.append([])
                helper(node.left, level+1)
                helper(node.right, level+1)
        sol = [[]]
        helper(root, 1)
        return sol[:-1]

4.2层序遍历迭代

• 这里不能用栈了，得用队列queue。因为每一层都需要从左往右打印，而每打印一个结点都会在队列中依次添加其左右两个子结点，每一层的顺序都是一样的，故必须采用先进先出的数据结构

class Solution:
    def levelOrder(self, root):
        if not root:
            return []
        sol = []
        curr = root
        queue = [curr]
        while queue:
            curr = queue.pop(0)
            sol.append(curr.val)
            if curr.left:
                queue.append(curr.left)
            if curr.right:
                queue.append(curr.right)
        return sol