最接近点对问题（分治法）

 来 自

 http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/problems/problem_set/ndp/problem.htm

 

问题描述

    在应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体。在涉及这些几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来看待，则具有最大碰撞危险的2架飞机，就是这个空间中最接近的一对点。这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一。下面我们着重考虑平面上的最接近点对问题。

最接近点对问题的提法是:给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点的所有点对中，该点对的距离最小。

严格地说，最接近点对可能多于1对。为了简单起见，这里只限于找其中的一对。

代码如下：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <math.h>
using namespace std;

ifstream fin("in.txt");
struct point
{
    int x;
    int y;
}*p;


void sort(point *p,int n)
{
    point t;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        t = p[i];
        for(int j=i-1;j>=0;j--)
        {
            if(t.x < p[j].x) p[j+1]=p[j];
            else break;
        }
        p[j+1]=t;
    }
}

double Distance(int i,int j)
{
    return sqrt((p[j].x-p[i].x)*(p[j].x-p[i].x)+(p[j].y-p[i].y)*(p[j].y-p[i].y));
}

double Closest(int begin,int end,int &one,int &two)
{    
    if(end-begin==1)    //两个点的情况
    {
        one = begin; two = begin+1;
        return Distance(begin,end);
    }
    double min,dist; 
    if(end-begin==2)      //三个点的情况
    {
        min = Distance(begin,begin+1);
        one = begin;    two = begin+1;
        dist = Distance(begin,end);
        if(min>dist){min=dist;two = end;}
        dist = Distance(begin+1,end);
        if(min>dist){min=dist;one = begin+1;}
        return min;
    }

    int mid = (begin+end)/2;               //多余三个点 分治法求解
    dist = Closest(begin,mid,one,two);
    int three=0,four=0;
    double dist2 =  Closest(mid,end,three,four); 
    if(dist<dist2)                           //对结果合并处理
    {min = dist;}
    else{
        min = dist2;
        one = three; two = four;
    }
    int i,j,num;
    double xia,shang;                  //关键部分！
    xia = p[mid].x-min;
    for(i=mid;i>=0;i--)             
    {
        if(p[i].x<xia)break;
        num = mid+6 < end ? mid+6:end;
        shang = p[i].y+min;
        for(j=mid+1;j<num;j++)
        {
            if(p[j].x-p[i].x > min)break;
            if(p[j].y > shang)continue;
            dist = Distance(i,j);
            if(min>dist)
            {
                min=dist;
                one = i;
                two = j;
            
            }
        }
    }
    return min;
}

int main()
{
    int n;
    fin>>n;
    p= (point *)malloc(sizeof(point)*n);
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        fin>>p[i].x>>p[i].y;
    }
    sort(p,n);
    for(i=0;i<n;i++)
        cout<<p[i].x<<" ";
    cout<<endl;
    int one=0,two=0;
    cout<<"The closest distance is "<<Closest(0,n,one,two)<<endl;
    cout<<"<"<<p[one].x<<","<<p[one].y<<">"<<endl;
    cout<<"<"<<p[two].x<<","<<p[two].y<<">"<<endl;
    return 0;
}

输入文件 in.txt：

10

43 67
99 35
81 36
64 78
45 65
71 94
24 61
21 34
5 29
31 51

结果：

5 21 24 31 43 45 64 71 81 99   //按x轴从小到大排序
The closest distance is 2.82843
<43,67>
<45,65>
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