• 有向图tarjan算法求连通分量的粗浅讲解、证明, // hdu1269



    打算开始重新复习一遍相关算法。对于有向图tarjan算法,通过学习过很多说法,结合自己的理解,下面给出算法自己的观点。

    算法总模型是一个dfs,结合一个stack(存放当前尚未形成SCC的点集合),记录下俩个数组:

    dfn【i】:结点i的访问时间戳。 low[i]:i结点所能到达的祖先。

    主要是俩次对low【u】的更新,一次:回溯的时候,u的孩子结点(vv)对u的更新,

      if(low[vv]<low[u])low[u]=low[vv];  //孩子可以到达,我必然也可以到达。

    二次:

      if(dfn[vv]<low[u])low[u]=dfn[vv]; //能到达的祖先,所以更新。
    这里“祖先”,表面上看是孩子,其实是某个祖先结点。

    若每次访问对u的孩字访问结束:若u满足

    if(dfn[u]==low[u])    
    则 以u为根,stack中u以及u上的点必然形成以个SCC。

    个人证明如下:

     1.u必然可以到达u的所有孩子,此时就是栈中u之上的点。这个毋庸置疑。

    2.下面只需证明所有孩子都可以到达u:

     对任意点(stack中在u之上的) i,必有dfn[i]>low[i],(若相等必然已经弹栈),i到达low[i]=dfn[j]<low[j]=dfn[k]<low[p].......,一直递减,其中i,j,k,p...代表不断找可达的祖先,

    知道到u为止(递减有下界),所以任意结点都可以到u。

    即证明了是u以上已经u是一个SCC。

    额外说明几点(易误点):

    1,:low值相同的点一定在同一个scc中,毋庸置疑的这个。

    2:同一个SCC中的点的LOW值未必都相同,是因为更新有先后的问题(可以举例)。但是除根外,其他点dfn>low,这个显然。

    对于无向图,只需要把边改为双向边即可,这时候,(无向图详细待更新)。

    hdu1269题意:判断有向图是否是强连通。直接用tarjan算法即可,只有一个SCC(强连通分量)。


    给出核心代码已经详见:(有向图涉及强连通的,要用栈)

    void tarjan(int u)
    {
       dfn[u]=low[u]=++times;         //时间戳的标记
       instack[u]=1;
       s.push(u);
       for(int i=0;i<v[u].size();i++)
       {
           int vv=v[u][i];
           if(!vis[vv])
           {
               vis[vv]=1;
               tarjan(vv);
               if(low[vv]<low[u])low[u]=low[vv];  //孩子可以到达,我必然也可以到达。
           }
           else if(instack[vv])      //注意,更新时要有在栈中条件,代表该孩子(其实是祖先)我能到达,而且是属于当前SCC。
           {
               if(dfn[vv]<low[u])low[u]=dfn[vv]; //能到达的祖先,所以更新。
           }
       }
       if(dfn[u]==low[u])    //是一个scc的根节点,出栈,一发现就出栈。
       {       int cur;
              num++
           do
           {
                cur=s.top();
               s.pop();
               instack[cur]=0;
              SCC[cur]=num;                         //这里可以完成缩点工作。
           }while(cur!=u);
       }
    }
    


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