求点$(1,1,1)$到平面$x+y+z=1$的距离.
解：
设$(x_0,y_0,z_0)$为平面上的任意一点，则
\begin{equation}
x_0+y_0+z_0=1
\end{equation}
因此
\begin{equation}
(x_0-1)+(y_0-1)+(z_0-1)=-2
\end{equation}
点$(1,1,1)$到点$(x_0,y_0,z_0)$的距离为
\begin{equation}
\sqrt{(x_0-1)^2+(y_0-1)^2+(z_0-1)^2}
\end{equation}
根据柯西不等式，
\begin{equation}
( 1\times (x_0-1)+1\times (y_0-1)+1\times (z_0-1))^2\leq 1^2(x_0-1)^2+1^2(y_0-1)^2+1^2(z_0-1)^2
\end{equation}
等号当且仅当$x_0=y_0=z_0$时成立.
因此$(x_0-1)^2+(y_0-1)^2+(z_0-1)^2$的最小值为4.因此点$(1,1,1)$到平面的
距离为2.