设$a<b$是实数，并设$f:[a,b]\to\mathbf{R}$是黎曼可积函数，若$F:[a,b]\to\mathbf{R}$是$f$的一个原函数，则
\begin{equation}
\label{eq:21_16_48}
\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
\end{equation}
证明：设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对区间$[a,b]$的一个分划.使得
\begin{equation}
\label{eq:22.20.33}
\sum_{i=0}^{n-1}\sup_f[x_i,x_{i+1}](x_{i+1}-x_i)
\end{equation}($\sup_f[x_i,x_{i+1}]$指的是$f$在$[x_i,x_{i+1}]$上的上确界)与
\begin{equation}
\label{eq:22_20_35}
\int_a^bf(x)dx
\end{equation}足够近.
由于$f$在$[a,b]$上黎曼可积，所以$f$在$[a,b]$上间断点的集合是零测集，即$f$在$[a,b]$上几乎处处连续.因此我们可以放心地把间断点集删去(这是因为由于$f$在$[a,b]$上黎曼可积，因此有界，当间断点集为零测集的时候，忽略间断点集不会对积分$\int_a^bf(x)dx$的值造成任何影响).根据微积分第一基本定理(今天上数学分析补充课的时候老师美其名曰变上限积分的一个重要性质，唉，数学里同一个东西名称多俺也没办法.)对于非间断点$\ x_0\in [a,b]$来说，
\begin{equation}
\label{eq:22_20_39}
F'(x_0)=f(x_0)
\end{equation}
即
\begin{equation}
\label{eq:22.20.40}
\lim_{\Delta x\to 0;\Delta x>0}\frac{F(x_0+\Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}=f(x_0)
\end{equation}
\ref{eq:22.20.40}也就是说:当$\Delta x$从正方向与0足够接近的时候，
\begin{equation}
\label{eq:27.17.49}
\frac{F(x_0+\Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}
\end{equation}与$f(x_0)$会足够接近.由于$f$在$x_0$点连续，因此当$\Delta x$从正方向接近0的时候，$f(x_0)$会与$\sup_f[x_i,x_{i+1}]$足够接近.因此$\frac{F(x_0+\Delta
x)-F(x_0)}{\Delta x}$与$\sup_f[x_i,x_{i+1}]$足够接近,因此
\begin{equation}
\label{eq:27.17.58}
\sum_{i=0}^{n-1} \frac{F(x_0+\Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}\Delta x
\end{equation}与
\begin{equation}
\label{eq:27.18.00}
\sum_{i=0}^{n-1} \sup_f[x_i,x_{i+1}](x_{i+1}-x_i)
\end{equation}足够接近.而\ref{eq:27.17.58}式即为
\begin{equation}
\label{eq:27.18.05}
F(b)-F(a)
\end{equation}
微积分第二基本定理得证.